قضیه ۵: قیاس ذوالوجهین موجب « Constructive Dilemmas » :
الف :
ب :
برهان : ب :
( s |
|
q ) |
|
( r |
|
p ) |
|
( s |
|
r ) |
|
( q |
|
p ) |
T F T F T F T
F T F T F T F T
F |
T
F T F F F F F T F T F F F F F |
T T T T F F F F T T T T
F F F F |
T F T T F F T T T T T T
T T T T |
T T F F T T
F F T T F F T T
F F |
T T
F F T T F F F F F F F F F F |
T T T T T T T T F F F F F F F F |
T T T T T T T T T T T T T T T T |
T F T F T F T
F T F T F T F T
F |
T F T T T F T T T F T T
T F T T |
T T F F T T
F F T T F F T T
F F |
T F T T F F F F T F T T
T F T T |
T T T T F F F F T T T T
F F F F |
T T T T F F F F T T T T
T T T T |
T T T T T T T T F F F F F F F F |
جدول ۲۴
نکته ۶ : اگر در طرف دوم قیاس ذوالوجهین موجب ، از قانون عکس نقیض استفاده کنیم، به قیاس ذوالوجهین منفی نظیر می رسیم:
الف :
ب :
صفحه های قبل : « ۱۳ » ، « ۱۲ » ، « ۱۱ » ، « ۱۰ » ، « ۹ » ، « ۸ » ، « ۷ » ، « ۶ » ، « ۵ » ، « ۴ » ، « ۳ » ، « ۲ » ، « ۱ »
قضیه۳: اگر p و q وr گزاره باشند ، آنگاه :
الف : قانون های شرکت پذیری « Associtive Laws» :
و
ب : قانون های پخش پذیری « Distributive Laws » :
و
ج : قانون تعدی « Transitive Law » :
برهان :
جدول ۲۰
( r
q )
p
r
( q
p )
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
F
F TF
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
F
F
F
F
FF
F
T
T
T
T
F
F
F
F
T
T
T
T
T
T
T
T
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
F
F
F
F
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
F
F
F
F
T
T
T
T
F
F
F
F
ب :
( r
p )
( q
p )
( r
q )
p
T
F
T
F
T
F
T
F
T
T
T
T
T
F
T
F
T
T
T
T
F
F
F
F
T
T
T
T
T
F
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
T
T
T
T
T
F
F
T
T
T
T
F
F
F
F
T
T
T
T
T
T
T
T
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
F
F TF
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
T
T
T
T
F
F
F
T
T
T
T
F
F
F
F
جدول ۲۱
ج :
( r
p )
( r
q )
( q
p )
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
T
T
T
T
T
T
T
F
F
F
F
T
T
T
T
T
T
T
T
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
T
T
F
T
T
T
T
F
F
T
T
F
F
T
F
F
F
T
F
T
T
T
T
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
T
T
T
T
T
T
T
F
F
F
F
جدول ۲۲
نکته ۵ : بنابر قانون های شرکت پذیری ، می توان ترکیب عطفی چند گزاره را بدون پرانتز نوشت، یعنی
![]()
گزاره ای با معناست. و می توان به صورت خلاصه
نوشت . و همچنین
۰
بنابراین ترکیب عطفی p1 ، p2 ، .... ، pn تنها در صورتی درست است که تمام pi ها درست باشند و ترکیب فصلی آنها تنها در صورتی نادرست است که تمام pi ها نادرست باشند.
صفحه های قبل : « ۱۱ » ، « ۱۰ » ، « ۹ » ، « ۸ » ، « ۷ » ، « ۶ » ، « ۵ » ، « ۴ » ، « ۳ » ، « 2 » ، « ۱ »
قضبه ها « Theorems » :
ابتدا چند قضیه ساده اما مهم را بیان می کنیم. سپس به قضایای مهمتر می پردازیم:
قضیه ۱ : قانون های دمورگان « Augustus De Morgan » : اگر p و q دو گزاره باشند ، آنگاه
الف:
ب :
برهان : با توجه به جدول ارزشی زیر حکم ها برقرارند :
q~
p~
( q
p )
~
F
T
F
T
F
F
F
T
F
F
T
T
T
T
T
T
T
F
T
F
T
T
T
F
T
T
F
F
F
F
F
T
جدول ۱۷
قضیه ۲ : اگر p و q دو گزاره باشند ، آنگاه قانون های زیر برقرارند:
۱. قانون نفی مضاعف « Double negation law » :
۲. قانون های جابجایی « Commutativity laws » :
و
۳. قانون های خود توانی « Idempotent laws » :
و
۴. قانون های جذب « Absorption laws » :
و
۵. قانون های جمع :
و
۶. قانون های اختصار « Simplification laws » :
و
![]()
۷. قانون رفع مولفه « Disjunctive syllogism law » :
![]()
۸. قانون عکس نقیض « Contrapositive Law » :
برهان : برهان قضیه های بالا به آسانی با رسم جدول ارزشی بدست می آید . نمونه وار جدول ارزشی قانون رفع مولفه و قانون عکس نقیض در زیر آمده است :
q
p~
( q
p )
T
F
T
F
T
T
T
T
F
F
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
T
T
F
T
T
F
F
جدول ۱۸
( p~
q~)
![]()
( q
![]()
p )
F
F
T
T
T
F
T
T
F
T
F
T
T
T
T
T
T
F
T
F
T
F
T
T
T
T
F
F
جدول ۱۹
نکته ۴ « قیاس استثنایی » : اگر در قانون رفع مولفه، به جای گزاره ی ( p q ) از گزاره ی هم ارز آن که قبلا ْ ثابت شد، استفاده کنیم به قیاس استثنایی
می رسیم. شکل کلی قیاس استثنایی به صورت
می باشد.
صفحه های قبل : « ۱۰ » ، « ۹ » ، « ۸ » ، « ۷ » ، « ۶ » ، « ۵ » ، « ۴ » ، « ۳ » ، « 2 » ، « ۱ »
تعاریف
۱. تعریف راستگو tautology: گزاره ای که در تمام حالت های منطقی دارای ارزش درستی باشد، یک راستگو نامیده می شود.
۲. تعریف تناقض : گزاره ای که در تمام حالت های منطقی دارای ارزش نادرستی باشد، یک تناقض نامیده می شود.
۳. تعریف استلزام Impalication : اگر گزاره ی شرطی P Q یک راستگو باشد ، آن را یک استلزام گوییم و با نماد «
» نشان می دهیم ، که « P مستلزم Q است » یا « Q از P لازم می آید » ، خوانده می شود.
۴. تعریف هم ارزی ( Equivqlent ) :
الف : دو گزاره ی p و q ( ساده یا مرکب ) را هم ارز گوییم اگر دارای تعداد حالات منطقی برابر باشند و حالت های منطقی ، نظیر به نظیر دارای ارزش یکسان باشند.
ب : اگر گزاره ی دوشرطی «
» ، یک راستگو باشد آنرا یک هم ارزی گوییم و با نماد های «
» یا «
» نشان می دهیم که « P هم ارز Q است » خوانده می شود .
مثلا ْ دو گزاره ی
و
هم ارز منطقی اند. زیرا هرکدام دارای ۴ حالت منطقی اند و همچنین با توجه به جدول های زیر، حالت های منطقی ، نظیر به نظیر دارای ارزش یکسان می باشند.
q
p
T
F
T
T
T
F
T
F
T
T
F
F
جدول ۱۵
q
p~
T
F
T
T
T
F
T
F
F
F
T
T
جدول ۱۶
۵. تعریف قضیه « Theorem » : در ریاضیات به گزاره های راستگو ، قضیه گفته می شود . قضیه ها معمولا ْ گزاره های شرطی یا دو شرطی اند.
۶. تعریف برهان « Proof » : اثبات درستی قضیه را برهان ( برهان قضیه ) گویند.
صفحه های قبل : « ۹ » ، « ۸ » ، « ۷ » ، « ۶ » ، « ۵ » ، « ۴ » ، « ۳ » ، « 2 » ، « ۱ »
جدول ارزشی گزاره های ،
،
و
را مشاهده می کنید.
|
|
|
|
q~ |
p~ |
q |
p |
T T F T |
F T T F |
T T T F |
T T T F |
F T F T |
F F T T |
T F T F |
T T F F |
جدول ۹
جدول ارزشی گزاره مرکب را مشاهده می کنید.
( r |
|
q ) |
|
( r |
|
p ) |
|
( q |
|
p ) |
T F T F T F T F |
T F T T T F T T |
T T F F T T F F |
T F T T T F T T |
T F T F T F T F |
T F T F T T T T |
T T T T F F F F |
T T T FT T T T |
T T F F T T F F |
T T F F T T T T |
T T T T F F F F |
جدول ۱۰
نکته ۲ : دو نماد عطفی و فصلی هیچ گاه بدون پرانتز پشت سر هم قرار نمی گیرند. یعنی گزاره ی بی معناست. زیرا اگر از پرانتزها کمک بگیریم به دو گزاره ی
و
می رسیم که اگر جدول ارزشی آنها را رسم کنیم می بینیم که ارزش های متفاوت دارند :
r |
|
( q |
|
p ) |
T F T F T F T F |
T F T F T F F F |
T T F F T T F F |
T T T T T T F F |
T T T T F F F F |
جدول ۱۱
( r |
|
q ) |
|
p |
T F T F T F T F |
T F F F T F F F |
T T F F T T F F |
T T T T T F F F |
T T T T F F F F |
جدول ۱۲
نکته ۳ : ترکیب بدون پرانتز نیز به دو صورت تعبیر می شود:
( r |
|
q ) |
|
p |
T F T F T F T F |
T F T T T F T T |
T T F F T T F F |
T F T T T T T T |
T T T T F F F F |
جدول ۱۳
r |
|
( q |
|
p ) |
T F T F T F T F |
T F T T T F T F |
T T F F T T F F |
T T F F T T T T |
T T T T F F F F |
جدول ۱۴
ما از به کار بردن مواردی که ابهام آمیز باشد پرهیز می کنیم و در این گونه موارد از پرانتز استفاده می کنیم.
صفحه های قبل : « ۸ » ، « ۷ » ، « ۶ » ، « ۵ » ، « ۴ » ، « ۳ » ، « 2 » ، « ۱ »