نویسنده حسن ایزدی مهر - ستارگان ریاضی ۸۳

افتخار آفرینان

ستارگان ریاضی

جناب آقای حمید ترابی اردکانی « مدال نقره »
جناب آقای آرش قاآنی فراشاهی « مدال برنز»
سرکار خانم صفورا جعفر زاده « مدال برنز »
جناب آقای رحیم رمضانیان « تقدیرنامه »
جناب آقای امین نعمت بخش « تقدیرنامه »

و کسب عنوان چهارم تیمی مسابقات ریاضی دانشجویی کشور را به همراهی سرپرست تیم « سرکار خانم دکتر حجازیان » و با همراهی « دکتر میرزاوزیری : عضو محترم کمیته علمی مسابقات دانشجویی کشور » و سرکا خانم « میر ابراهیمی » به شما تبریک می گوییم.

*****« ستارگان ریاضی ۸۳ دانشگاه فردوسی مشهد »*****

حسن ایزدی مهر شنبه 23 اردیبهشت‌ماه سال 1385 ساعت 12:50 ب.ظ

2 نظر

آنالیز ریاضی ۲ جلسه ۹ ( ویرایش شده )

فصل سوم

دنباله و سری توابع

تعریف 1-3 ( همگرایی نقطه به نقطه : pointwise convergence ) : دنباله از توابع بر را نقطه به نقطه همگرا به تابعی مانند گوییم هرگاه

یا به عبارت دیگر گوییم دنباله نقطه به نقطه همگرا به تابعی مانند هرگاه

تعریف 2-3 ( همگرایی یکنواخت « uniform convergence » ) : دنباله از توابع بر را همگرای یکنواخت به تابعی مانند گوییم هرگاه به ازای تمام xهای عضو E داشته باشیم

قضیه 1-3 « شرط کشی « Cauchy condition » برای همگرایی یکنواخت دنباله ای از توابع » :

دنباله از توابع بر به طور یکنواخت همگراست اگر و تنها اگر

برهان: ابتدا انگار دنباله بر E به طور یکنواخت همگرا به تابعی مانند باشد ، طبق تعریف همگرایی یکنواخت داریم

از طرف دیگر طبق نامساوی مثلث داریم

بنابراین

پس در شرط کشی صدق می کند. حال اگر در شرط کشی برصدق کند. چون R فشرده است و دنباله ای در Rاست که در شرط کشی صدق می کند، بنابراین در R همگراست. پس

نشان می دهیم این همگرایی یکنواخت است . با توجه به شرط کشی داریم

و با توجه به همگرایی داریم پس

بنابراین بر E همگرایی یکنواخت است.

قضیه 2-3 « آزمون وایراشتراس « weierstrass test » برای همگرایی دنباله توابع » : اگر دنباله از توابع بر E به طور نقطه به نقطه همگرا به تابع باشد و

در این صورت دنباله به طور یکنواخت به همگراست اگر و تنها اگر یا

برهان: ابتدا اگر همگرای یکنواخت به بر E باشد ، برای

داده شده ، داریم

حال اگر داریم

در نتیجه

برعکس اگردر این صورت به ازای داده شده ، داریم

بنابراینبه طور یکنواخت به همگراست.

قضیه 3-3 : اگرهمگرای یکنواخت به f برE باشد و( a نقطه ی حدی E باشد) اگر به ازای هر n داشته باشیم آنگاه یا به عبارت دیگر

برهان: چون همگرای یکنواخت به f است لذا برای هرداده شده ، داریم

حال چون به ازای هر n ، ، پس به ازای ثابت داریم

پس به ازایداریم

یعنی

.

حسن ایزدی مهر چهارشنبه 20 اردیبهشت‌ماه سال 1385 ساعت 06:23 ب.ظ

0 نظر

ویرایش

ویرایش های انجام شده درسه شنبه تاریخ 19 اردیبهشت 85

حسن ایزدی مهر سه‌شنبه 19 اردیبهشت‌ماه سال 1385 ساعت 09:56 ق.ظ

0 نظر

آنالیز ریاضی ۲ . جلسه ۸ قسمت ۲ ( پس از ویرایش)

انتگرال گیرهای با تغییر کراندار

توضیح : در فصل 1 دیدیم که هر تابع با تغییر کراندار را می توان به صورت تفاضل دو تابع صعودی نوشت. پس اگر a بر تابعی با تغییر کراندار باشد، می توان نوشت که و بر صعودی اند. اگر و برآنگاه از ویژگی خطی در می یابیم که بر . اکنون این پرسش مطرح می شود که آیا عکس مطلب همواره برقرار است یا نه؟ یعنی اگر بر و a را بتوان به صورت تفاضل دو تابع صعودی و نوشت، آیا می توان نتیجه گرفت که و ؟

در پاسخ باید گفت : چون نمایش تابع a ( a با تغییرات کراندار است ) به صورت تفاضل دو تابع صعودی ، منحصر به فرد نیست، اگر ؛ می توان توابع صعودی و یی پیدا کرد که هیچ یک از انتگرال های و موجود نباشد. اما در قضیه زیر ثابت می کنیم که دست کم برای یک نمایش تابع a و آن هم به صورت انتگرال های فوق موجود خواهند بود.

قضیه 2-15: انگار a بر با تغییرات کراندار باشد و تابع تابع تغییر کل تابع a بر بازه ی به طوری که باشد. با این شرایط اگر بر ، آنگاه بر خواهد بود.

برهان: طبق تعریف V می دانیم ، اگر V(b) =0 ، پس V بر تابعی ثابت است و . اگر ، چون V صعودی است ، کافی است ثابت کنیم f در شرط ریمان بر حسب V بر صدق می کند. اگر و e>0 داده شده باشد ، را به گونه ای اختیار می کنیم که برای هر افراز و هر داشته باشیم