نویسنده حسن ایزدی مهر - ستارگان ریاضی ۸۳

آنالیز ریاضی ۲ جلسه ۸ قسمت ۱ (پس از ویرایش )

قضیه 2-12: انگار a بر صعودی باشد، در این صورت سه گزاره ی زیر هم ارزند.

۱. بر .

۲. f در شرط ریمان بر حسب a برصدق می کند.

۳. .

برهان : نشان می دهیم که گزاره ی 2 از 1 و گزاره ی 3 از 2 و گزاره ی 1 از 3 بدست می آید.

انگار گزاره ی 1 برقرار باشد ، یعنی بر بازه ی ، اگر e>0 داده شده باشد، افرازهای P₁ و P₂ از وجود دارند که

و

اگر ، در این صورت با توجه به قضیه قبل داریم

که نشان می دهد

پس f در شرط ریمان بر حسب a بر صدق می کند.

اکنون اگر گزاره ی 2 برقرار باشد و e>0 داده شده باشد، افرازی مانند هست به طوری که به ازای هر افراز P ظریفتر از آن داریم

از این رو داریم

پس به ازای هر e>0 داریم

( * )

از طرفی می دانیم

( ** )

با توجه به ( * ) و ( ** ) داریم

سرانجام اگر گزاره ی 3 برقرار باشد نشان می دهیم گزاره ی ۱ برقرار است.

پس انگار

نشان می دهیم موجود و برابر با A است.

به ازای e>0 داده شده، طبق تعریف انتگرال بالایی می توان را طوری برگزید که به ازای هر افرازP ظریفتر از آن داشته باشیم

همچنین را طوری برگزید که به ازای هر افرازP ظریفتر از آن داشته باشیم

در این صورت با گزینش به ازای هر افراز ِP ظریفتر ازخواهیم داشت

یعنی

پس و این پایان برهان است.ÿ

قضیه 2-13: اگر a بر صعودی باشد و و بر و برای هر داشته باشیم آنگاه

برهان این قضیه به سادگی با استفاده از تعاریف بدست می آید. ÿ

با توجه به این قضیه اگر a بر صعودی و و آنگاه

.

قضیه 2-14: انگار a بر صعودی و بر، آنگاه بر و

برهان: با توجه به

و

و همچنین رابطه ی

خواهیم داشت

(*)

اگر e>0 داده شده باشد ، چون ، پس افراز از موجود است به طوری که به ازای هر داریم

در این صورت طبق نابرابری (*) برای هر افراز داریم

پس در شرط ریمان بر حسب a بر بازه ی صدق می کند و از طرفی چون

لذا طبق قضیه 2-13 داریم

که این پایان برهان خواهد بود.ÿ

حسن ایزدی مهر سه‌شنبه 5 اردیبهشت‌ماه سال 1385 ساعت 09:50 ق.ظ

2 نظر

چرا؟

«« هرچند که رنگ و بوی زیباست مرا

چون لاله رخ و چو سرو بالاست مرا

معلوم نشد که در طرب خانه ی خاک

نقاش ازل بهر چه آراست مرا »»

حسن ایزدی مهر یکشنبه 3 اردیبهشت‌ماه سال 1385 ساعت 08:23 ق.ظ

5 نظر

آنالیز ریاضی ۲ جلسه ۷ قسمت دوم( پس از ویرایش)

قضیه 2-11: انگار a بر صعودی باشد ، در این صورت

۱. اگر از P ظریفتر باشد آنگاه

و

۲. به ازای هر دو افراز P₁ و P₂ داریم

برهان : 1. اگر افرازP به صورت داده شده باشد، کافی است افراز که را در نظر بگیریم. یعنی اگر مجموع بالایی اشتیل یس برای افراز را تشکیل دهیم

که در آن و به ترتیب سوپریمم های تابع f بر بازه های و گزینش شده اند. چون و پس

از طرفی برای افرازهای فوق اگربه ترتیب اینفیمم تابع f بر بازه های و باشد داریم و و لذا

۲. با افرازهای P₁ و P₂ داده شده افراز جدید را می سازیم. در این صورت با توجه به رابطه زیر ، حکم قضیه برقرار است

.

نتیجه : با توجه به قضیه 2-11 ، اگر a بر صعودی باشد و m وM به ترتیب اینفیمم و سوپریمم f بر باشند ، برای هر افراز P₁ و P₂ رابطه زیر برقرار است

با توجه به مجموع پایینی و بالایی اشتیل یس ِ تابع f نسبت به a بر می توان تعریف زیر را ارائه داد.

تعریف : انگار a بر صعودی باشد ، انتگرال اشتیل یس بالایی f نسبت به a بر عبارت است از

همچنین انتگرال اشتیل یس پایینی f نسبت به a بر عبارت است از

همچنین اگر باشد، آنگاه انتگرال های بالا را به ترتیب به صورت و

خواهد بود که آنها را انتگرال بالایی و پایینی ریمان گویند.

به راحتی می توان دید که

کنجکاویم بدانیم که اگر انتگرال های بالایی و پایینی با هم برابر باشند، می توان مجموع های بالایی و پایینی را هم به اندازه دلخواه به هم نزدیک کرد یا نه. در شرط ریمان این نکته را می یابیم.

شرط ریمان : گوییم f در شرط ریمان بر حسب a بر صدق می کند در صورتی که به ازای هر e>0، افرازی مانند باشد به قسمی که هرگاه P از ظریفتر باشد، آنگاه

حسن ایزدی مهر دوشنبه 28 فروردین‌ماه سال 1385 ساعت 05:33 ب.ظ

1 نظر

آنالیز ریاضی ۲ جلسه ۷ قسمت اول(پس از ویرایش)

با قضیه زیر به این امکان می رسیم که مقدار یک انتگرال بر بازه ی بسته را به مجموع مقدار های این تابع درعدد های صحیح ِ این بازه مربوط کنیم که دارای این مزیت است که گاهی می توان یک انتگرال را به یک مجموع نزدیک کرد و یا یک مجموع را با یک انتگرال تخمین زد. این قضیه به قضیه جمع بندی اویلر معروف است.

قضیه ۲-۱۰: ( قضیه جمعبندی اویلر )

اگر f بر مشتق پیوسته داشته باشد و