نویسنده حسن ایزدی مهر - ستارگان ریاضی ۸۳

آنالیز ریاضی ۲ جلسه ۶ قسمت۲ ( پس از ویرایش)

تعریف ۱: تابع a را بر یک تابع پله ای در نقطه ی نامیم اگر به صورت زیر باشد

یعنی تابع a در نقاط غیر ازc تابع ثابت باشد.

تذکر : اگر a در c پله ای باشد ،

و

مثال1 : تابع زیر دریک تابع پله ای است .

قضیه 2-7: اگر a در نقطه c بر پله ای و f تابعی بر باشد که f و a هر دو از یک طرف در c ناپیوسته نباشند، آنگاه بر و

برهان : فرض کنیمافرازی از شاملباشد . در این صورت

بنابراین اگر a در c پیوسته باشد آنگاه برای افراز P ، داریم

و لذا

اگر a در نا پیوسته باشد

بنابراین

حال اگر f درc پیوسته باشد وe<0 داده شده باشد، آنگاه d<0 هست که

که

در این حالت اگر افراز را چنان بگیریم که و و به ازای هرخواهیم داشت

(1)

یعنی در صورتی که f درc پیوسته و a در c پله ای باشد ، انتگرال فوق وجود دارد. اما اگر f در c ، از راست پیوسته و a در c از چپ پیوسته باشد ، یعنی

اگر e<0 داده شده باشد، d<0 هست که

در این حالت کافی است را افرازی بگیریم که و بنابراین

که با جایگزینی این مقدار در نامساوی (1) روابط همچنان درستی خواهیم داشت. یعنی اگرf در c ، از راست وa درc از چپ پیوسته باشد ، انتگرال بالا موجود و قضیه برقرار خواهد بود. و سر انجام در حالتی که f در c ، از چپ وa در c از راست پیوسته باشد ، یعنی

اگر e<0 داده شده باشد ، d<0 هست که

در این حالت نیز کافی است را افرازی بگیریم که و بنابراین

که با جایگزاری آن در نامساوی (1) برهان کامل می شود.

مثال: اگرو تابع f با دامنه R در نقاط صحیح از چپ پیوسته باشد، آنگاه برای هر عدد طبیعی n ، موجود و برابر است با

توجه : مثال و قضیه بالا نشان می دهند که شرط پیوستگی برای انتگرال پذیری ، شرط لازم نیست. یعنی توابعی موجودند که ناپیوسته و انتگرال پذیرند.

در ادامه شکل کلی تابع پله ای را تعریف کرده و چگونگی تحویل انتگرال ریمان-اشتیل یس را به مجموع متناهی و بر عکس را در دو قضیه مجزا بیان می کنیم.

تعریف2: ( تعمیم تابع پله ای ) تابع a با دامنه ی را یک تابع پله ای گوییم در صورتی که افرازی از مانند

وجود داشته باشد به گونه ای که a بر هر زیر بازه ی باز ِ که دارای مقدار ثابت باشد.

تعریف 3: به ازای k=1 ، جهش در نقطه ی را برابر با تفاضل و برای k= n ، جهش در نقطه ی را برابر با تفاضل و در دیگر x_k ها( یعنی ) برابر با تفاضل تعریف می شود.

قضیه 2-8: فرض کنیم a بر تابع پله ای با نقاط افراز ِ باشد و در نقطه ی x_k ، دارای جهش باشد وf نیز بر طوری تعریف شده باشد که f و a در هر x_k هر دو همزمان از چپ یا از راست ناپیوسته نباشند. در این صورت وجود دارد و داریم

برهان : طبق خواص انتگرال می توان نوشت

حال قضیه 7-2 را برای هر یک از انتگرال های طرف راست ِ تساوی بالا بکار می بریم . خواهیم داشت

پس برهان تمام است.

قضیه 2-9: هر مجموع متناهی را می توان به صورت انتگرال ریمان-اشتیل یس در آورد.

برهان: فرض کنیم یک مجموع متناهی باشد. تابع f را بر بازه ی به صورت و اگر و آنگاه

تعریف می کنیم. در این صورت با در نظر گرفتن بر این بازه خواهیم داشت

که ، جهش تابع a در نقطه x_kاست . چون این جهش برای تابع جزء صحیح برابر 1 واحد است و تابعf در نقاط x_kاز راست و تابع جزء صحیح از چپ ناپیوسته اند ، طبق قضیه پیشین داریم

این پایان برهان است.

به این ترتیب به پایان این جلسه می رسیم.

حسن ایزدی مهر سه‌شنبه 22 فروردین‌ماه سال 1385 ساعت 06:50 ب.ظ

0 نظر

آنالیز ریاضی ۲ جلسه ۶ قسمت اول( پس از ویرایش)

برای دسترسی ساده تر به مطالب ، آن ها را در صفحات با حجم کم عرضه می کنیم.

در این جلسه خواهیم دید که انتگرال ریمان ، حالت خاصی از انتگرال ریمان-اشتیل یس است

قضیه 2-6: فرض کنیم بر بازه ی و همچنین بر این بازه پبوسته باشد. انتگرال ریمان وجود دارد و داریم

برهان : فرض کنیم اگر P افرازی از باشد ، مجموع ریمان زیر را تشکیل می دهیم

با همان افراز P و همان انتخاب از ها ، مجموع ریمان-اشتیل یس f نسبت به a را تشکیل می دهیم

با استفاده از قضیه مقدار میانگین برای هر ؛ وجود دارد که .

بنابراین

از آنجا که f کراندار است، پس M>0 هست که برای هرx از بازه ی داشته باشیم . پیوستگی بر بازه ی ، پیوستگی ِ یکنواخت آن را نتیجه می دهد. پس اگر داده شده باشد ، ی هست که فقط به بستگی دارد و

(1)

می توان افرازرا از طوری اختیار کرد که . در این صورت برای هر افراز P ظریفتر از آن داریم

(2)

بنابراین برای افراز ِ P، طبق روابط (1) و (2) داریم

و از آن جا که بر ، پس افرازی مانند هست که به ازای هر افراز ِ P ظریفتر از آن

اگر افراز را بر اختیار کنیم ، به ازای هر افرازP که ظریفتر از آن باشد ، تمامی روابط بالا برقرار خواهند بود . طبق نامساوی مثلث داریم

و این پایان خوش برهان خواهد بود.

حسن ایزدی مهر یکشنبه 20 فروردین‌ماه سال 1385 ساعت 05:13 ب.ظ

2 نظر

تست های کنکور کارشناسی ارشد با پاسخ « توابع با تغییرات کراندار »

تست و نکته ۱

1. تابع

در فاصله [0,1] مفروض است . در مورد پیوستگی، کرانداری و باتغییرات کراندار بودن f ، بر این بازه ، کدام گزینه درست است؟

1. پیوسته، کراندار ولی بدون تغییرات کراندار

2. پیوسته و با تغییرات کراندار

3. کراندار و با تغییرات کراندار

4. پیوسته ، کراندار و با تغییرات کراندار

( ریاضی کارشناسی ارشد سال ۱۳83 )

پاسخ : گزینه ی 1 پاسخ صحیح است. پیوستگی و کرانداری تابع داده شده واضح است ولی بدون تغییرات کراندار است زیرا اگر افراز

را در نظر بگیریم

از آنجا که سری

واگراست پس برای n های بزرگ ،

از هر اندازه ی دلخواه بزرگتر می شود .

نکته : به ازای a>0 و b>0 ، توابع

وقتی که و ، بر بازه ی [0,1] ، با تغییرات کراندارند اگر و فقط اگر a>b

را حل این نکته این گونه است . برای تابع i ، افراز

را در نظر می گیریم. داریم

که به ازای همگراست. یعنیa>b.

حال اگر a>b ، تابع بر زیر بازه های افراز فوق، صعودی یا نزولی خواهد بود. بنابر این testAn01013 موجود است .( توابع یکنوا بر بازه های بسته، با تغییرات کراندارند.)

به طور مشابه با انتخاب

اثبات می شود. همچنین چون این توابع نسبت به محور y ها دارای تقارن اند، می توان با انتخاب testAn01015

ثابت کرد که این توابع بر با تغییرات کراندارند اگر و فقط اگر a>b. لذا توابع فوق بر بازه ی با تغییرات کراندارند اگر و فقط اگر a>b.

حسن ایزدی مهر سه‌شنبه 23 اسفند‌ماه سال 1384 ساعت 11:00 ق.ظ

1 نظر

آنالیز ریاضی ۲ . جلسه ۵ ( پس از ویرایش )

انتگرال ریمان-اشتیل یس

چشم انداز : در این جلسه دو قضیه را اثبات خواهیم کرد که نخستین آن به انتگرال گیری به روش جزء به جزء شهرت دارد و دیگری تغییر متغیر در انتگرال ریمان-اشتیل یس را بیان می کند.

ابتدا با توجه به بحث جلسه قبل ، تعریف زیر را ارائه می دهیم.

تعریف : اگر وجود داشته باشد، تعریف می کنیم

و همچنین

قضیه ۴-۲: (انتگرال گیری به روش جزء به جزء) اگر بر بازه ی ، آنگاه بر و داریم

برهان: فرض کنیم e>0 داده شده باشد، از آن جا که وجود دارد لذا افرازی مانند موجود است که به ازای هر افراز ظریفتر از آن مانند 'P ، داریم

(*)

مجموع ریمان-اشتیل یس را برای تابع a نسبت به f بر بازه ی برای هر افراز دلخواه P، ظریفتر ازتشکیل می دهیم

(1)

قرار می دهیم

داریم

(2)

در این صورت از تفاضل روابط (1) و (2) دایم

اگر را افرازی از بگیریم که شامل تمام x_k ها وt_k ها باشد ، طرف راست تساوی فوق را می توان به صورت یک حاصل جمع به شکل ، نوشت. یعنی

در این صورت ، از P ظریفتر است و لذا از نیز ظریفتر خواهد بود. بنابراین نامساوی (*) برقرار خواهد بود و داریم

یعنی

باجایگزینی مقدار A داریم

به این ترتیب به پایان برهان می رسیم.ð

قضیه ۵-۲ :( تغییر متغیر در انتگرال ریمان-اشتیل یس )

فرض کنیم بر و g تابعی پیوسته و یکنوای اکید باشد که بر بازه ی I با نقاط انتهایی ِ c و d تعریف شده باشد و داشته باشیم و . فرض کنیم h و b توابعی مرکب با ضوابط زیر باشند

و

در این صورت بر بازه ی I و داریم

برهان: فرض کنیم g بر بازه ی I اکیداً صعودی و پیوسته باشد. پس یک به یک است . بنابراین

و تابع g^-1 نیز بر بازه ی اکیداً صعودی و پیوسته است. با این شرایط ، متناظر با هر افراز از [ c.d] ، یک و تنها یک افراز ِ از [a,b] وجود دارد که

به عبارت دیگر می توان نوشت

همچنین متناظر با هر تظریف ِ P ، یک تظریف وجود دارد و بر عکس. حال فرض کنیم e>0 داده شده باشد. چون بنابراین افراز از وجود دارد که به ازای هر افراز ظریفتر از آن ، مثل داریم

متناظر با ، افراز را بر [ c,d ] داریم. فرض کنیم افرازی بر [c,d] باشد که از ظریفتر باشد. مجموع ریمان-اشتیل یس را برای تابع h نسبت به b بر بازه ی [c,d] به ازای و تشکیل می دهیم