آنالیز ریاضی ۲ جلسه ۴ قسمت۲( پس از ویرایش )

قضیه ۱-۲: اگر و بر بازه ی بسته [a,b] آنگاه به ازای هر دو عدد حقیقی و متناهی c و d  داریم بر بازه ی بسته [a,b]   و

 

برهان : فرض کنیم  h = cf + dg   . به ازای یک افراز مفروض از بازه ی بسته [a,b] مانند P می توان نوشت

 

اکنون اگر e>0 داده شده باشد، را طوری انتخاب می کنیم که برای هر افراز P که نا مساوی ِرا ایجاب کند. همچنینرا طوری انتخاب می کنیم که برای هر افراز P که نامساوی بر قرار باشد . اگر، به ازای هر افراز ِ ظریفتر از  مانند P داریم

 

از آنجا که c و d اعداد حقیقی متناهی اند و روابط فوق به ازای هر e>0 برقرار اند ، لذاو

 

و این پایان برهان است.ð

مشابه قضیه فوق (قضیه ۱-۲) که برای ترکیب خطی دو تابع انتگرالده روی یک انتگرالگیر و بازه ی بسته مشترک بیان شد، می توان برای ترکیب خطی دو تابع انتگرالگیر با انتگرالده و بازه ی بسته مشترک بیان و اثبات کرد. ما این قضیه را بیان کرده و از ذکر اثبات آن خودداری می کنیم .

قضیه 2-2: هرگاه وبر بازه ی [a,b]، آنگاه به ازای هر دو عدد حقیقی متناهی ِ c و d داریم

بر بازه ی [a,b]  و .

قضیه زیر به این مطلب اشاره دارد که اگر تابع f بر بازه ای بسته نسبت به a دارای انتگرال ریمان-اشتیل یس باشد، برهر زیر بازه ی بسته ی آن  نیز دارای انتگرال ریمان-اشتیل یس است.

قضیه ۳-۲ : فرض کنیم ، اگر دو انتگرال از سه انتگرال زیر موجود باشند، آنگاه انتگرال سوم نیز موجود خواهد بود و

 

برهان :  فرض کنیم بر بازه های و  و e>0 داده شده باشد . افراز ، از موجود است به طوری که به ازای هر افراز ظریفتر از آن ، مانند P₁  داریم

 

و همچنین افرازی مانند از موجود است به طوری که به ازای هر افراز ظریفتر از آن ، مانند P₂ داریم

 

اکنون افرازی از[a,b]  خواهد بود . اگرP افرازی از[a,b]  به طوری که از ظریفتر باشد، افرازهای

  و

به ترتیب از افرازهای و ظریفتر خواهند بود. داریم

 

از طرفی

 

پس  بنابر تعریف بر [a,b]  و . به این ترتیب برهان این قضیه نیز کامل می شود. ð

آنالیز ریاضی ۲ جلسه ۴ قسمت ۱ ( پس از ویرایش )

انتگرال ریمان-اشتیل یس

چشم انداز: ابتدا انتگرال ریمان-اشتیل یس را تعریف کرده ، سپس با ذکر چند مثال مطلب را روشن می کنیم. پس از آن رابطه ی بین دو تابع انتگرال پذیر f و g  بر یک بازه ی بسته مشترک و مجموع آن ها را بررسی کرده و سرانجام خواهیم دید که اگر تابعی بر بازه ی بسته ای دارای انتگرال ریمان-اشتیل یس باشد ، بر هر زیر بازه ی بسته ی آن نیز دارای انتگرال ریمان-اشتیل خواهد بود. پس....

تعریف۱۰-۲: اگر f و a روی بازه ی  تعریف شده  و کراندار باشند و  افرازی از آن بازه باشد،

 

در این صورت برای هر  مجموع ریمان-اشتیل یس تابع  f  نسبت به a  را بر بازه ی به صورت زیر تعریف می کنیم:

 

تعریف2-2: گوییم تابع f  نسبت به a بر بازه ی دارای انتگرال ریمان-اشتیل یس است و می نویسیم بر بازه ی هرگاه عددی مانند A موجود باشد به طوری که برای هر e<0 ، افرازی مانند   موجود باشد که برای هر افراز ِ P  که ظریفتر ازباشد، داشته باشیم

 

چنین Aیی در صورت وجود یکتاست و با نماد نشان می دهیم. f  را تابع انتگرالده و a را تابع انتگرال گیر می نامند.

مثال۱-۲: فرض کنید و تابع f  بر بازه ی  به صورت زیر تعریف شده باشد

 

در این صورت با فرض A=1 و اگر انتخاب شود داریم

 

همچنین در این حالت اگر P افرازی ظریفتر از با شرط  باشد خواهیم داشت

 

بنابراین

 

و بعلاوه اگرباشد داریم

یعنی

پس . یعنی f نسبت به a بر بازه ی [0,1] دارای انتگرال ریمان-اشتیل یس خواهد بود و. 

مثال 2-2 : اگر  و بر بازه ی  باشند. فرض کنیم، در این صورت برای هر افراز افراز را می سازیم .( افرازP ظریفتر ازاست). اگر فرض کنیم داریم

لذا برای هر عدد حقیقی A نمی توان دو رابطه ی  و را داشت زیرا در این صورت

 

یعنی 2<1 که تناقض آشکاریست. پس افراز P ظریفتر از هست که

 

پس بر بازه ی  .

مثال ۳-۲:  و  در این صورت بر بازه ی [0,1] . زیرا با فرض A=1 ، برای هر e>0 ، را افرازی دلخواه از [0,1] می گیریم . اگر P افرازی ظریفتر از بر بازه ی [0,1] باشد، داریم

 

ولذا

 

پس   و.

ادامه دارد.....

آنالیز ریاضی۲ جلسه سوم ( پس از ویرایش )

چشم انداز: حال که با مفهوم توابع با تغییرات کراندار آشنا شدیم ، می خواهیم بدانیم که آیا همه توابع پیوسته با تغییرات ِ کراندارند؟ یا حتی اگر f  با تغییرات کراندار باشد ، چه رابطه ای بین پیوستگی f و V_f  بر بازه های بسته وجود دارد ؟ و در پایان این بخش به محاسبه ی V_f  از روی تابع f می پردازیم.

مثال زیر در پاسخ به این سوال که آیا تمام توابع پیوسته با تغییرات ِ کراندارند، به ما کمک می کند.

مثال ۴-۱ : اگر  تابعی پیوسته با ضابطه ی زیر باشد

 

به ازای هرعدد طبیعی n  می توان افرازهای P_n  را به صورت زیر در نظر گرفت

 

در این صورت خواهیم داشت

 

حال چون سری واگراست لذا سوپریمم ها به ازای  وجود ندارد و از طرفی طبق رابطه ی زیر

 

نتیجه می گیریم که f  بر بازه ی  با تغییرات کراندار نیست.

این مثال نشان داد که توابع پیوسته ای بر بازه های بسته وجود دارند که با تغییرات کراندار نیستند.

در قضیه زیر رابطه ی بین پیوستگی یک تابع با تغییرات کراندار بر[a,b]  را با پیوستگی تابع تغییرات کل آن روی همان بازه بررسی می کنیم.

قضیه ۷-۱ : اگر f  بر بازه ی  [a,b]  با تغییرات کراندار باشد ، در این صورت f  بر هرپیوسته است اگر و فقط اگر V_f  بر این نقطه پیوسته باشد.

 برهان : ابتدا فرض کنیم  V_f  در هر نقطه ی پیوسته باشد.  پس برای هر e>0 ، d>0ی هست که

 

با توجه به بحث های قبلی داریم

 

این رابطه نشان می دهد که f  بر هر پیوسته است .

بر عکس فرض کنیم  f  در هر نقطه ی پیوسته باشد.  پس برای هر e>0 ، d>0ی هست به طوری که برای هر  و داریم

 

همچنین افراز  ( با فرض ) وجود دارد به طوری که

           ( ۱)  

در افراز فوق می توان فرض کرد  زیرا حتی اضافه کردن چنین x₁ ی به افراز P₁ ، از مجموع آن چیزی نمی کاهد . بنابراین داریم

 

از طرفی داریم

   ( ۲)

با تلفیق روابط (1) و (2) داریم

 

یعنی

 

از طرفی داریم

 

بنابر این نتیجه می شود که اگر  آنگاه

 

لذا V_f  در نقطه ی از طرف راست پیوسته است . به طور مشابه می توان ثابت کرد که V_f در نقطه ی از طرف چپ پیوسته است . بنابراین V_f به ازای هرپیوسته است. این پایان برهان خواهد بود   .ð

برای ادامه بحث به چند تعریف نیازمندیم :

تعریف ۸-۱: نگاشت پیوسته f از [a,b]  به R را یک منحنی در R  گوییم . همچنین اگر f یک به یک باشد، آن را کمان یا قوس گوییم.

تعریف ۹-۱: منحنی f که بر بازه ی  [a,b]  تعریف شده را طول پذیر گوییم هرگاه f بر این بازه با تغییرات کراندار باشد.

یاد آوری :

 

قضیه زیر ما را در محاسبه تغییرات کل تابع در بازه ی  [a,b]  یاری می کند.

قضیه ۸-۱: اگر 'f  بر بازه ی  [a,b]  یک منحنی با تغییرات کراندار باشد، آنگاه f نیزبر این بازه، یک منحنی با تغییرات کراندار است و داریم

 

برهان : برای هر افراز از بازه  [a,b]  داریم

 

یعنی

          (*)

این نشان می دهد که منحنی f بر  [a,b]  با تغییرات کراندار است.

از طرفی پیوستگی 'f  بر بازه [a,b] ، پیوستگی یکنواخت آن را بر این بازه نتیجه می دهد ، بنابراین

 

بنابراین با فرض ||P||<d  برای هر داریم

 

بنابراین اگر داریم

 

از طرفی

 

بنابراین

 

با جمع بندی رابطه ی اخیر برای i=1,2,…,n داریم

 

یعنی

   

برای هر e>0 دلخواه. بنابراین

          (**)

با توجه به روابط (*) و(**) برهان کامل می باشد .ð

با این قضیه به پایان مبحث توابع با تغییرات کراندار رسیدیم. جلسات آینده ، مبحث انتگرال ریمان-اشتیل یس را شروع می کنیم .

مسابقه انتخابی المپیاد

مرحله اول مسابقات ریاضی دانشجویی

« دانشگاه فردوسی مشهد»

27/11/1384

۱. گروه G دقیقا ً ذارای سه زیر گروه است اگر و فقط اگر دوری از مرتبه p²  باشد.( p عددی اول است)

۲. فرض کنید

یک دنباله دقیق از فضاهای برداری با بعد متناهی و تبدیلات خطی باشد. ثابت کنید

dimA + dimC =dimB + dimD

۳. فرض کنیم ||.|| تابعی روی فضای برداری X باشد که تمام خواص نرم به جز نامساوی مثلث را دارد و به جای نامساوی مثلث ، نامساوی متوازی الاضلاع را به شکل زیر داریم

 

ثابت کنید  یک فضای نرم دار است.

۴. در یک گراف مانند یک زیر مجموعه از رئوس مانندD را مسلط نامیم هر گاه به ازای هررأسی مانند

و یالی مانند موجود باشد . Dرا قویا ً مسلط می نامیم هر گاه برای هر، این شرط برقرار باشد. درجه ( قویا ً) تسلطی Dرا مینیمم مقدار |D|که در آن، مجموعه v(G ( قویا ً ) مسلط است، تعریف و با نماد نشان داده می شود. ثابت کنید

 

آنالیز ریاضی ۲ . جلسه ۲ ( پس از ویرایش)

 تعریف ۶-۱ : فرض کنیم با تغییرات کراندار باشد. در این صورت بنا بر تعریف اگر P یک افراز بر باشد آنگاه از بالا کراندار است. لذا دارای سوپریمم است . سوپریمم مجموعه فوق را تغییر کل تابع f از a تا b می نامیم و می نویسیم

یعنی

قضیه ۴-۱: فرض کنیم f و g  بر بازه با تغییرات کراندار باشد . در این صورت  f+g  و f-g و f.g  نیز بر با تغییرات کراندارند و داریم

که در آن

برهان : فرض کنیم  افرازی از بازه ی باشد،

و لذا 

یعنی  بر بازه با تغییرات کراندار است.

برای افراز فوق

زیرا

و به این ترتیب برهان قضیه کامل می شود.ð

قضیه ۴-۱ : فرض کنیم f  بر بازه با تغییرات کراندار باشد و عدد m>0  موجود باشد به طوری که   آنگاه  بر بازه با تغییرات کراندار است و

برهان :

 فرض کنیم افرازی دلخواه از بازه ی باشد، داریم

و این نتیجه ی مطلوب است .ð

قضیه ۵-۱: فرض کنیم f  بر بازه  با تغییرات ِ کران دار است. در این صورت  f  بر[a,c]  و    [c,b] ( که c بین a وb است) با تغییرات کراندار است و

برهان : اگر P₁ افرازی ازو P₂  افرازی از باشد ، آنگاه   افرازی از بازه ی  است و 

پس 

   

در نتیجه f بر بازه های و با تغییرات کراندار است و

  ( ۱)

بر عکس  فرض کنیم P  افرازی ازباشد ، قرار می دهیم و و در این صورت 

 

واز طرفی چون افراز Pّ  ظریف تر از افراز P است داریم:

لذا

( ۲)

روابط ( 1 ) و( 2 ) ما را به پایان برهان می رساند. 

تعریف ۷-۱ : فرض کنیم f  بر بازه ی با تغییرات کراندار باشد، برای هر تعریف می کنیم

 

بنابر قضیه قبل، این تعریف با معناست و اگر  آنگاه

 

پس V بر بازه ی صعودی است.

قضیه ۶-۱ : f  بر بازه ی با تغییرات کراندار است اگر و فقط اگر بتوان آن را به صورت تفاضل دو تابع صعودی نوشت.

برهان: اگر f  را بتوان به صورت تفاضل دو تابع صعودی نوشت ، آنگاه چون توابع یکنوا بر بازه های بسته، باتغییرات کراندارند، لذا f  با تغییرات کراندار است.

برعکس اگر f  بر بازه ی با تغییرات کراندار باشد، آنگاه قرار می دهیم  . دیدیم که V_f  صعودی است .

اگر آنگاه داریم 

 

لذا تابع  صعودی است و برهان کامل است.ð

مثال۳-۱ : تابع  بر بازه با تغییرات کراندار است و تابع  نیزبر بازه با تغییرات کراندار است.

نکته۱-۱ : مثال فوق نشان می دهد که نمایش ِ تابع با تغییرات کراندار، به صورت تفاضل دو تابع صعودی منحصر به فرد نیست .