ستارگان ریاضی ۸۳
هدف ما ایجاد یک منبع سرشار ریاضی است، ادامه فعالیت های ما در سایت ریاضیات ایران با آدرس www.irmath.com پیگیری می شود منتظرتان هستیمستارگان ریاضی ۸۳
هدف ما ایجاد یک منبع سرشار ریاضی است، ادامه فعالیت های ما در سایت ریاضیات ایران با آدرس www.irmath.com پیگیری می شود منتظرتان هستیم۱۶.استدلال قیاسی، مثال۱ و مثال۲
استدلال قیاسی « Deductive reasoning » :
در اثبات قضیه های ریاضی ، نمی توان همواره از جدول ارزشی استفاده نمود. مثلا ْ اگر قضیه ای از ۵ گزاره ی ساده تشکیل شده باشد، جدول ارزشی آن دارای ۳۲ حالت منطقی خواهد بود. رسم یک چنین جدولی هیچ گاه مقرون به صرفه نیست و هیچ کس آن را توصیه نمی کند. اینجاست که استدلال قیاسی به کمک می آید . قواعدی را که در قضیه ها ، نکته ها و تعاریف گذشته با استفاده از جدول ارزشی اثبات نمودیم ، به عنوان « قواعد استنتاج » در نظر می گیریم . البته این قانون ها مستقل از یکدیگر نیستند . پس استدلال قیاسی به صورت زیر تعریف می شود :
استدلال قیاسی ارائه برهانی است با استفاده از تعاریف، اصول موضوعه ، قواعد استنتاج و قضیه هایی که قبلا ْ درستی آن ها اثبات شده است.
مثال ۱ : برهان خلف 
را به روش قیاسی ثابت کنید.
حل :
تعریف p
q
قانون دمورگان
قضیه ۷ . الف
تعریف p
بنابراین طبق قانون تعدی ، p
است.
مثال ۲ :قانون رفع مؤلفه ی 
را به روش قیاسی ثابت کنید.
حل:
قانون پخش پذیری
قضیه ۷.د . الف و قانون جابجایی
قانون پخش پذیری
قضیه ۷.د . الف
قضیه ۱. قسمت ۶ قانون اختصار
صفحه های قبل : « ۱۵ » ، « ۱۴ » ، « ۱۳ » ، « ۱۲ » ، « ۱۱ » ، « ۱۰ » ، « ۹ » ، « ۸ » ، « ۷ » ، « ۶ » ، « ۵ » ، « ۴ » ، « ۳ » ، « ۲ » ، « ۱ »
۱۵. قضبه ۶ و قضیه ۷
قضیه ۶ :
الف : قیاس دفع
p~
q~
( q
p )
F
F
T
T
T
T
T
T
F
T
F
T
F
F
F
T
T
F
T
F
T
F
T
T
T
T
F
F
جدول ۲۵
ب: برهان خلف
( q
p~ )
( q~
p )
( q
p )
T
F
T
F
F
F
T
F
F
F
T
T
T
F
T
T
F
T
F
T
F
T
F
F
T
T
F
F
T
T
T
T
T
F
T
F
T
F
T
T
T
T
F
F
جدول ۲۶
قضیه ۷ : اگر c و t و p به ترتیب یک تناقض و یک راستگو و یک گزاره دلخواه باشند، آنگاه :
الف: 
ب: 
ج: 
د: 
برهان این قضیه ساده است و به عنوان تمرین به دانشجو واگذار می شود.
صفحه های قبل : « ۱۴ » ، « ۱۳ » ، « ۱۲ » ، « ۱۱ » ، « ۱۰ » ، « ۹ » ، « ۸ » ، « ۷ » ، « ۶ » ، « ۵ » ، « ۴ » ، « ۳ » ، « ۲ » ، « ۱ »
۱۴. قضیه ۵ و نکته ۶
قضیه ۵: قیاس ذوالوجهین موجب « Constructive Dilemmas » :
الف : 
ب : 
برهان : ب :
|
( s |
|
q ) |
|
( r |
|
p ) |
|
( s |
|
r ) |
|
( q |
|
p ) |
|
T F T F T F T
F T F T F T F T
F |
T
F T F F F F F T F T F F F F F |
T T T T F F F F T T T T
F F F F |
T F T T F F T T T T T T
T T T T |
T T F F T T
F F T T F F T T
F F |
T T
F F T T F F F F F F F F F F |
T T T T T T T T F F F F F F F F |
T T T T T T T T T T T T T T T T |
T F T F T F T
F T F T F T F T
F |
T F T T T F T T T F T T
T F T T |
T T F F T T
F F T T F F T T
F F |
T F T T F F F F T F T T
T F T T |
T T T T F F F F T T T T
F F F F |
T T T T F F F F T T T T
T T T T |
T T T T T T T T F F F F F F F F |
جدول ۲۴
نکته ۶ : اگر در طرف دوم قیاس ذوالوجهین موجب ، از قانون عکس نقیض استفاده کنیم، به قیاس ذوالوجهین منفی نظیر می رسیم:
الف : 
ب : 
صفحه های قبل : « ۱۳ » ، « ۱۲ » ، « ۱۱ » ، « ۱۰ » ، « ۹ » ، « ۸ » ، « ۷ » ، « ۶ » ، « ۵ » ، « ۴ » ، « ۳ » ، « ۲ » ، « ۱ »
۱۲ قضیه ۳ ، نکته ۵
قضیه۳: اگر p و q وr گزاره باشند ، آنگاه :
الف : قانون های شرکت پذیری « Associtive Laws» :
و
ب : قانون های پخش پذیری « Distributive Laws » :
و
ج : قانون تعدی « Transitive Law » :
برهان :
جدول ۲۰
( r
q )
p
r
( q
p )
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
F
F TF
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
F
F
F
F
FF
F
T
T
T
T
F
F
F
F
T
T
T
T
T
T
T
T
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
F
F
F
F
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
F
F
F
F
T
T
T
T
F
F
F
F
ب :
( r
p )
( q
p )
( r
q )
p
T
F
T
F
T
F
T
F
T
T
T
T
T
F
T
F
T
T
T
T
F
F
F
F
T
T
T
T
T
F
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
T
T
T
T
T
F
F
T
T
T
T
F
F
F
F
T
T
T
T
T
T
T
T
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
F
F TF
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
T
T
T
T
F
F
F
T
T
T
T
F
F
F
F
جدول ۲۱
ج :
( r
p )
( r
q )
( q
p )
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
T
T
T
T
T
T
T
F
F
F
F
T
T
T
T
T
T
T
T
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
T
T
F
T
T
T
T
F
F
T
T
F
F
T
F
F
F
T
F
T
T
T
T
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
T
T
T
T
T
T
T
F
F
F
F
جدول ۲۲
نکته ۵ : بنابر قانون های شرکت پذیری ، می توان ترکیب عطفی چند گزاره را بدون پرانتز نوشت، یعنی
گزاره ای با معناست. و می توان به صورت خلاصه
نوشت . و همچنین
۰
بنابراین ترکیب عطفی p1 ، p2 ، .... ، pn تنها در صورتی درست است که تمام pi ها درست باشند و ترکیب فصلی آنها تنها در صورتی نادرست است که تمام pi ها نادرست باشند.
صفحه های قبل : « ۱۱ » ، « ۱۰ » ، « ۹ » ، « ۸ » ، « ۷ » ، « ۶ » ، « ۵ » ، « ۴ » ، « ۳ » ، « 2 » ، « ۱ »
۱۱. قضیه ها
قضبه ها « Theorems » :
ابتدا چند قضیه ساده اما مهم را بیان می کنیم. سپس به قضایای مهمتر می پردازیم:
قضیه ۱ : قانون های دمورگان « Augustus De Morgan » : اگر p و q دو گزاره باشند ، آنگاه
الف:
ب :
برهان : با توجه به جدول ارزشی زیر حکم ها برقرارند :
q~
p~
( q
p )
~
F
T
F
T
F
F
F
T
F
F
T
T
T
T
T
T
T
F
T
F
T
T
T
F
T
T
F
F
F
F
F
T
جدول ۱۷
قضیه ۲ : اگر p و q دو گزاره باشند ، آنگاه قانون های زیر برقرارند:
۱. قانون نفی مضاعف « Double negation law » :
۲. قانون های جابجایی « Commutativity laws » :
و
۳. قانون های خود توانی « Idempotent laws » :
و
۴. قانون های جذب « Absorption laws » :
و
۵. قانون های جمع :
و
۶. قانون های اختصار « Simplification laws » :
و
۷. قانون رفع مولفه « Disjunctive syllogism law » :
۸. قانون عکس نقیض « Contrapositive Law » :
برهان : برهان قضیه های بالا به آسانی با رسم جدول ارزشی بدست می آید . نمونه وار جدول ارزشی قانون رفع مولفه و قانون عکس نقیض در زیر آمده است :
q
p~
( q
p )
T
F
T
F
T
T
T
T
F
F
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
T
T
F
T
T
F
F
جدول ۱۸
( p~
q~)
( q
p )
F
F
T
T
T
F
T
T
F
T
F
T
T
T
T
T
T
F
T
F
T
F
T
T
T
T
F
F
جدول ۱۹
نکته ۴ « قیاس استثنایی » : اگر در قانون رفع مولفه، به جای گزاره ی ( p 
q ) از گزاره ی هم ارز آن که قبلا ْ ثابت شد، استفاده کنیم به قیاس استثنایی 
می رسیم. شکل کلی قیاس استثنایی به صورت 
می باشد.
صفحه های قبل : « ۱۰ » ، « ۹ » ، « ۸ » ، « ۷ » ، « ۶ » ، « ۵ » ، « ۴ » ، « ۳ » ، « 2 » ، « ۱ »