۲.۱ مجموعه ها

فصل دوم « مجموعه ها »

چشم اندازی به آنچه در این فصل خواهیم گفت :

ابتدا به بیان مفهوم مجموعه می پردازیم و سپس روابط حاکم بر مجموعه ها و پس از آن چند قضیه در مجموعه ها را بیان و اثبات می کنیم . پس از مجموعه ها ، به مفهوم خانواده و خانواده مجموه های اندیس دار خواهیم پرداخت که این قسمت نیز با تعاریف و قضایای مربوطه همراه خواهد شد. سرانجام به بیان پارادکس راسل می پردازیم.

« مجموعه ها Sets »

تعریف ها : تعریف مجموعه ، شاید در ابتدا ساده و ابتدایی به نظر برسد، اما از مهمترین و اساسی ترین مفاهیم در ریاضیات جدید است.

نخستین تعریف علمی مجموعه، در پایان قرن ۱۹ میلادی ، سال ۱۸۹۵ توسط «‌ گئورگ کانتور Georg Cantor  » بیان شده است. ما نیز از تعرف کانتور استفاده می کنیم. کانتور یک مجموعه را به صورت زیر تعریف می کند :

 یک مجموعه ، گردایه ای از اشیاء متمایز در فکر یا شعور ماست که به عنوان یک کل در نظر گرفته می شود.

هر یک از اشیاء متمایز در مجموعه را ، یک عضو یا یک عنصر از مجموعه گوییم. در ریاضیات، مجموعه ها را با ثبت عناصرشان بین دو ابرو , بیشتر با حروف بزرگ لاتین مانند A و ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌B و ... و عناصر مجموعه را با حروف کوچک لاتین مانند a و b و ... نشان می دهند. عناصر مجموعه ی A دلخواه است  و می تواند اعداد، حروف، اشیاء، حیوانات و... را در برگیرد ، اما بحث ما در ریاضیات به مجموعه اعداد کشیده می شود.

 اگر عنصر x ، عضوی از مجموعه داده شده ی A باشد، گوییم « x عضوی از مجموعه ی A است » یا « x متعلق به مجموعه ی A است. » و با نماد « » نشان می دهیم. پس نماد « » به معنای « متعلق بودن به » بکار می رود.

اگر عنصر x ، در مجموعه ی داده شده ی A نباشد، گوییم « x عضوی از مجموعه ی A نیست » یا « x متعلق به مجموعه ی A نیست. » و با نماد « » نشان می دهیم و نماد « » برای « عضو نبودن » بکار برده می شود.

مهمترین مجموعه هایی که ما در این درس با آنها سر وکار داریم به قرار زیر است:

۱. مجموعه تهی« impety set » ‌: مجموعه ای را که هیچ عضوی نداشته باشد، مجموعه تهی گویند. این مجموعه را با نماد یا  ‍‍‌‍‍{} نشان می دهیم.

۲.  مجموعه اعداد طبیعی « set of natural number » :در ریاضیات، مجموعه اعداد طبیعی را با IN نشان می دهند و به قرار زیر است:

۳. مجموعه اعداد حسابی : این مجموعه را  با W نشان می دهند :

۴.  مجموعه اعداد صحیح : این مجموعه را  با Z  نشان می دهند :

۵. مجموعه اعداد صحیح زوج :این مجموعه را  با E نشان می دهند :

۶. مجموعه اعداد صحیح فرد : این مجموعه را  با O نشان می دهند :

۷. مجموعه اعداد گویا : این مجموعه را  با Q نشان می دهند :

۸. مجموعه اعداد حقیقی : این مجموعه را  با IR نشان می دهند، که شامل تمام اعدا اصم و گویا می باشد. عددی را که نتوان به صورت یک عدد گویا نوشت ، یک عدد گنگ یا اصم گویند مانند  و p .

  - ۱ -

۲۳.قضیه ۹ « توزیع دو جمله ای »

قضیه ۹« توزیع دو جمله ای »  :

اگر x و y دو عدد حقیقی و n یک عدد طبیعی باشد ، آنگاه

    ( ۱ )

برهان : این قضیه را نیز با استقرا ثابت می کنیم :

۱. n=1 :

    ( ۲ )

 ۲. اگر قضیه برای n=k برقرار باشد یعنی داشته باشیم :

     ( ۳ )

. اگر دو طرف تساوی ( ۳ ) را در x+y ضرب کنیم : 

( ۴ )   

و این نتیجه مطلوب است که در گام آخر تساوی های  ( ۴ )  ، از این حقیقت استفاده شده است که و . بنابراین حکم به استقرا برقرار است و قضیه دو جمله ای برای تمام اعداد طبیعی درست است.

در قضیه دو جمله ای  به     ، ضرایب دوجمله ای می گویند.

به این ترتیب به پایان فصل اول مبانی ریاضیات می رسیم .

  - ۲۳ -

---

 تمام صفحه های فصل اول مبانی ریاضیات دانشگاهی : « ۲۲ » ، « ۲۱ » ، « ۲۰ » ، « ۱۹ » ، « ۱۸ » ،  « ۱۷ » ،   « ۱۶ »  ،  « ۱۵ »  ، « ۱۴ » ، « ۱۳ » ،  « ۱۲ » ،  « ۱۱ » ، « ۱۰ » ،  « ۹ » ، « ۸ » ، « ۷ » ،  « ۶ » ،  « ۵ » ،  « ۴ » ،  « ۳ » ،  « ۲ »  ،  « ۱ »

۲۲. تعریف های استقرایی و قضیه ۸

تعریف های استقرایی :

در بسیاری از تعاریف در ریاضیات ، از استقرا استفاده می شود. نمونه وار در اعداد حقیقی ، توان های طبیعی اعداد به صورت استقرایی تعریف می شوند. اگر x عددی حقیقی و n عددی طبیعی باشد ،  xⁿ⁺¹=xⁿ.x

بنابراین

x¹=x

x²=x¹.x

x³=x².x   و ....

همچنین

  x=x

2x=x+x

3x=2x+x   و ... nx=(n-1).x  .

فاکتوریل ! : اگر n  یک عدد طبیعی باشد، آنگاه !n ( بخوانید n فاکتوریل ) ، غبارتست از حاصلضرب اعداد طبیعی ِ کوچکتر یا مساوی با n . و به صورت استقرایی به قرار زیر است :

۱=!۱

۲×۱=!۲

!۲×۳=!۳

 

همچنین بنابر قرارداد ۱=!۰ .

تعریف  : اگر n یک عدد طبیعی و r یک عدد صحیح باشد، به صورت زیر تعریف می شود :

 

و اگر 

 

قضیه ۸ :  اگر n  و  r اعداد صحیح باشند و  ، آنگاه

       ( ۱ )

.

برهان : این قضیه را به استقرا ثابت می کنیم . ۱. ابتدا نشان می دهیم

    ( ۲ )

. از آنجا که  پس r=0  یا r=1  . اگر r=0 ، طبق تعریف داریم :

    ( ۳ )

و اگر r=1  :

    ( ۴ )

 پس به ازای  n=1 گزاره حکم برقرار است .

۲. حال فرض کنیم گزاره حکم به ازای n=k برقرار باشد( فرض استقرا) . یعنی

    ( ۵ )

که r را بین 0 و k  دلخواه اما تزین پس ثابت در نظر می گیریم . باید نشان دهیم :  

     ( ۶ )

طبق تعریف داریم :

      ( ۷ )

که در گام دوم تساوی های ( ۷ ) از برقراری فرض استقرا برای n=k استفاده شده است. تساوی های ( ۷ ) ما را به نتیجه مطلوب می رساند.

  - ۲۲ -

---

 صفحه های قبل : « ۲۱ » ، « ۲۰ » ، « ۱۹ » ، « ۱۸ » ،  « ۱۷ » ،   « ۱۶ »  ،  « ۱۵ »  ، « ۱۴ » ، « ۱۳ » ،  « ۱۲ » ،  « ۱۱ » ، « ۱۰ » ،  « ۹ » ، « ۸ » ، « ۷ » ،  « ۶ » ،  « ۵ » ،  « ۴ » ،  « ۳ » ،  « ۲ »  ،  « ۱ »

۲۱. استقرای ریاضی و مثال۵

۳. استقرای ریاضی :

معمولا ْ اگر بخواهیم درستی گزاره ای را در مورد اعداد طبیعی نشان دهیم از استقرای ریاضی کمک می گیریم .

اصل استقرای ریاضی به صورت زیر است :

استقرای ریاضی : اگر  حکمی درباره ی اهداد طبیعی n باشد به طوری که

۱.  به ازای n=1 گزاره ای درست باشد.

۲. به ازای هر عدد طبیعی k ، از درستی ، درستی  لازم آید ، یعنی

 

آنگاه  به ازای تمام اعداد طبیعی n ، درست است.

در مثال زیر ، با روش استفاده از استقرای ریاضی آشنا می شویم :

مثال ۵. نشان دهید برای هر عدد طبیعی n داریم :

    ( ۱)

حل : ابتدا درستی قضیه را برای  n=1 بررسی می کنیم :

 

حال فرض کنیم حکم برای k برقرار باشد، یعنی   درست باشد :

   ( ۲ )

نشان می دهیم این درستی ، درستی حکم را برای k+1 ایجاب می کند. دوطرف تساوی (۱) را با   جمع می کنیم :

   ( ۳ )

طرف دوم تساوی (۲) را می توانیم به صورت زیر بنویسیم :

     ( ۴ )

بنابر تساوی های ( ۳ ) و ( ۴ ) داریم :

 

پس از درستی  ، نشان دادیم  نیز درست است. بنابراین حکم برای هر عدد طبیعی n ، به استقرا درست است.

درواقع ، استقرای ریاضی خود شامل ۲ قضیه است. در قضیه اول درستی   بررسی می شود که معمولا کار ساده ایست و در قضیه دوم بایستی   را فرض و   را حکم در نظر بگیریم. از این روست که به   فرض استقرا گویند. 

  - ۲۱ -

---

 صفحه های قبل : « ۲۰ » ، « ۱۹ » ، « ۱۸ » ،  « ۱۷ » ،   « ۱۶ »  ،  « ۱۵ »  ، « ۱۴ » ، « ۱۳ » ،  « ۱۲ » ،  « ۱۱ » ، « ۱۰ » ،  « ۹ » ، « ۸ » ، « ۷ » ،  « ۶ » ،  « ۵ » ،  « ۴ » ،  « ۳ » ،  « ۲ »  ،  « ۱ »

۲۰. برهان غیر مستقیم

۲. برهان غیر مستقیم  « برهان خلف » :

 در برهان خلف، نقیض نتیجه را به مفروضات می افزاییم و با استفاده از قواعد، به یک تناقض می رسیم. با رسیدن به تناقض برهان کامل می شود.

 مثال ۴ : حکم زیر را با استفاده از برهان خلف ثابت کنید .

اگر من در این درس شرکت کنم و زیاد درس بخوانم، آنگاه نمرات خوبی می گیرم .

اگر نمرات خوبی بگیرم ،اآنگاه خوشحال می شوم.

من خوشحال نیستم.

بنابراین یا من  در این درس شرکت نکرده ام یا زیاد درس نخوانده ام.

حل :  گزاره های زیر را در نظر می گیریم :

من در این درس شرکت می کنم : p

من زیاد درس می خوانم : q

من نمرات خوبی می گیرم  : r

من خوشحال هستم : s

بنابراین

۱.  

۲.

۳. s~

۴.      برهان خلف

۵.  p q                 از ۴- دمورگان

۶.  r                        از ۱و ۵  قیاس استثنایی

۷.  s                       از ۲ و ۶ قیاس استثنایی

۸.               از ۳و ۷ عطف

شماره ۸ یک تناقض است. بنابراین حکم به برهان خلف برقرار است .

که شماره ۸ یک تناقض است . پس حکم به برهان خلف برقرار است.

این مثال را می توان با استفاده از برهان مستقیم نیز حل نمود‌:

۴.                 از ۲ و نکته ۱

۵.                      از ۴ و قانون دمورگان

۶. r~                              از ۵ و رفع مؤلفه

۷.       از ۱ و عکس نقیض

۸.                  از ۶و ۷ و قیاس استثنایی

۹.                  از  ۸ و قانون دمورگان.

انتخاب روش حل ِ یک حکم، به سلیقه و تجربه فرد بستگی دارد. اما همه سوال ها را نمی توان با برهان خلف ثابت کرد و همچنین همه سوال ها را نمی توان به روش مستقیم ثابت کرد. باید توجه کرد که در روش مستقیم، با استفاده از فرض ها و قواعد استنتاج به نتیجه دست می یابیم  اما در روش غیر مستقیم، نشان می دهیم که با درست فرض کردن ِ نقیض نتیجه، به یک گزاره ی نادرست « تناقض »  می رسیم ، که نشان می دهد نتیجه خود گزاره ای درست است.

  - ۲۰ -

---

 صفحه های قبل : « ۱۹ » ، « ۱۸ » ،  « ۱۷ » ،   « ۱۶ »  ،  « ۱۵ »  ، « ۱۴ » ، « ۱۳ » ،  « ۱۲ » ،  « ۱۱ » ، « ۱۰ » ،  « ۹ » ، « ۸ » ، « ۷ » ،  « ۶ » ،  « ۵ » ،  « ۴ » ،  « ۳ » ،  « ۲ »  ،  « ۱ »