تعرف رده ( کلاس) هم ارزی

با سلام...

ببخشید از این وقفه طولانی...

به علت وجود مشکلات زیاد در انتشار بر روی وبلاگ، پست این صفحه ما به صورت نسخه ی pdf در اختیار شما قرار می گیرد...

مسابقه شماره ۳

مسابقات ریاضی دانان جوان

مسابقه شماره 3

1.     صفحه ای را به طور کاملاً تصادفی با دو رنگ قرمز و آبی ، رنگ آمیزی کرده ایم. نشان دهید که همواره  می توان سه نقطه ی همرنگ به گونه ای یافتع که رئوس یک مثلث متساوی الاضلاع شوند.

2.      هر یک از اعداد 1 تا 10⁶ را با مجموع ارقامش جایگزین می کنیم تا جایی که به 10⁶ عدد یک رقمی برسیم. در این دنباله ی بدست آمده تعداد 2 ها بیشتر است یا تعداد یک ها؟

3.     فرض کنید مجموعه ی اعداد طبیعی توسط تعداد متناهی تصاعد حسابی افراز شده باشد. نشان دهید قدر نسبت حداقل دو تا از این تصاعد ها برابر است.

میر ابراهیمی

مهلت ارسال پاسخ ها 9 آذر ماه 1385

مثال ۱۳ و تعریف تحدید یک رابطه و مثال ۱۴

مثال ۱۳-۳ : کوچکترین و بزرگترین رابطه هم ارزی روی مجموعه ی دلخواه A را بیابید.

حل: رابطه ی قطری ( همانی )، کوچکترین رابطه ی هم ارزی روی مجموعه ی دلخواه A است. زیرا از تعریف رابطه ی همانی پیداست که برای هر عنصر دلخواه a از A  داریم  . یعنی رابطه ی همانی خاصیت انعکاسی دارد. همچنین تقارنی است زیرا برای هر  واضح است که .و خاصیت تعدی نیز به انتفای مقدم برقرار است.

بزرگترین رابطه ی هم ارزی روی A‌ ، مجموعه ی است.

 انعکاسی است زیرا یعنی

 ,

تقارنی است زیرا اگر عضوی از باشد، پس  و . بنابراین چون مجموعه ی تمام جفت مرتب های روی عناصر مجموعه ی A است، پس نیز عضوی از است.

 متعدی است زیرا اگر  و عضو هایی از باشند، آنگاه a و b و c عناصری از A هستند. پس هر جفت مرتب از این سه عضو و بخصوص عضوی از است.

تعریف تحدید یک رابطه : اگر R  یک رابطه در A به توی B باشد، و C زیر مجموعه ای از A باشد، آنگاه تحدید R به C را با نماد نمایش می دهیم و به صورت زیر تعریف می کنیم :

=

دقت کنید که با تعریف بالا، در واقع R  را بر C محدود می کنیم.

مثال ۱۴-۳ : اگر R یک رابطه روی A باشد، نشان دهید یک رابطه متقارن روی A است.

حل:فرض کنیم A یک مجموعه دلخواه و R یک رابطه روی آن باشد. ابتدا نشان می دهیم که  یک رابطه روی A است.

اگرپس  ، بنابراین = و زیر مجموعه ی است.

اگر  پس جفت مرتبی مانند وجود دارد که a و b عضو هایی از A باشند و . از طرفی برای هر داریم . بنابراین

= 

پس یک رابطه روی A است.

حال اگر  باشد ، نشان می دهیم .

 یعنی R  یا   R^-1 .

اگر R  پس  R^-1 ، لذا  .

واگر  R^-1  پس  R ، لذا . بنابراین در هر دو حالت . پس متقارن است.

  - ۷ -

---

صفحه های قبلی :  « ۶ » ،  « ۵ » ،  « ۴ » ،  « ۳ » ،  « ۲ » ،  « ۱ » 

فصل های قبلی مبانی ریاضیات

مبانی ریاضات،فصل اول،منطق گزاره 

مبانی ریاضات،فصل دوم،مجموعه ها

۶. تعریف رابطه های مهم مثال ۱۱و۱۲

تعریف رابطه ی انعکاسی ( بازتابی ) : رابطه ی R روی A را یک رابطه ی انعکاسی گویییم هرگاه و فقط هرگاه به ازای هر a در A داشته باشیم .

تعریف رابطه ی تقارنی ( متقارن ) : رابطه ی R روی A را یک رابطه ی متقارن گویییم هرگاه و فقط هرگاه ،اگر آنگاه.

R متقارن است  (  )

تعریف رابطه ی متعدی ( تراگذری ، ترایایی) : رابطه ی R روی A را یک رابطه ی متعدی گویییم هرگاه و فقط هرگاه ،اگر وآنگاه. یا

R متعدی است  (  )

تعریف رابطه ی پادتقارنی ( پادمتقارن ) : رابطه ی R روی A را یک رابطه ی پادمتقارن گویییم هرگاه و فقط هرگاه ،اگر وآنگاه a=b .

 مثال ۱۱-۳ : اگر   باشد، روابط R₁ و R₂ و R₃ روی B را طوری انتخاب کنید که  به ترتیب متقارن ، متعدی و انعکاسی باشند:

حل:

مثال ۱۲-۳ : اگر   باشد، روابط R₄ و R₅  روی B را طوری انتخاب کنید که R₄ دارای سه خاصیت انعکاسی و متقارن و متعدی و R₅  دارای سه خاصیت انعکاسی و پادمتقارن و متعدی  باشد.

حل :

 .

تعریف رابطه ی هم ارزی : رابطه ی R روی A را یک رابطه ی هم ارزی  گوییم هرگاه و فقط هرگاه دارای سه خاصیت انعکاسی ، تقارنی و تعدی باشد.

رابطه ی R₄ در مثال ۱۲-۳ یک رابطه ی هم ارزی روی B است.

تعریف رابطه ی ترتیب جزئی : رابطه ی R روی A را یک رابطه ی ترتیب جزئی گوییم هرگاه و فقط هرگاه دارای سه خاصیت انعکاسی ، پادتقارنی و تعدی باشد.

رابطه ی R₅ در مثال ۱۲-۳ یک رابطه ی ترتیب جزئی روی B است.

  - ۶ -

---

صفحه های قبلی :  « ۵ » ،  « ۴ » ،  « ۳ » ،  « ۲ » ،  « ۱ » 

فصل های قبلی مبانی ریاضیات

مبانی ریاضات،فصل اول،منطق گزاره 

مبانی ریاضات،فصل دوم،مجموعه ها

۵.دامنه و هم دامنه ی یک رابطه و مثال ۱۰

دامنه و هم دامنه ی یک رابطه

تعریف دامنه ی یک رابطه : اگر R رابطه ای از A در B باشد، دامنه ی رابطه ی R ، مجموعه ی آن xهایی از A است که به ازای آن ها ، حداقل یک y در B موجود باشد به طوری که x با y رابطه ی R داشته باشد یا xRy . دامنه ی رابطه ی R را معمولاً با نمایش می دهند. بنابراین اگر ، آنگاه

=

دقت کنید که .

به A حوزه ی تعریفِ رابطه ی R می گوییم. در صورتی که این نماد برای توابع با اندکی تغییر همراه است که در جای خود گفته می شود.

تعریف هم دامنه ی یک رابطه : اگر R رابطه ای از A در B باشد، هم دامنه ی رابطه ی R ، مجموعه ی آن yهایی از B است که به ازای آن ها ، حداقل یک x در A موجود باشد به طوری که x با y رابطه ی R داشته باشد یا xRy . هم دامنه ی رابطه ی R را معمولاً با نمایش می دهند. بنابراین اگر  ، آنگاه

 =

یادآور می شویم که .به Bحوزه ی مقادیریا برد ِ رابطه ی R می گوییم.

مثال ۱۰ -۳ : اگر و  و ، دامنه و هم دامنه ی R را بیابید.

حل :

==

==

  - ۵ -

---

صفحه های قبلی :  « ۴ » ،  « ۳ » ،  « ۲ » ،  « ۱ » 

فصل های قبلی مبانی ریاضیات

مبانی ریاضات،فصل اول،منطق گزاره 

مبانی ریاضات،فصل دوم،مجموعه ها