آنالیز ریاضی ۲ جلسه ۷ قسمت دوم( پس از ویرایش)

قضیه 2-11: انگار a بر صعودی باشد ، در این صورت

۱. اگر از P ظریفتر باشد آنگاه

     و    

۲. به ازای هر دو افراز P₁ و P₂  داریم

 

برهان : 1. اگر افرازP به صورت  داده شده باشد، کافی است افراز  که  را در نظر  بگیریم. یعنی اگر مجموع بالایی اشتیل یس برای افراز را تشکیل دهیم

 

که در آن  و به ترتیب سوپریمم های تابع f  بر بازه های  و گزینش شده اند. چون  و  پس

 

از طرفی برای افرازهای فوق اگربه ترتیب اینفیمم تابع f  بر بازه های  و باشد داریم  و  و لذا

 

۲. با افرازهای P₁ و P₂ داده شده  افراز جدید  را می سازیم. در این صورت با توجه به رابطه زیر ، حکم قضیه برقرار است

 

.  

نتیجه : با توجه به قضیه 2-11 ، اگر a بر  صعودی باشد و m  وM به ترتیب اینفیمم و سوپریمم f بر باشند ، برای هر افراز P₁ و P₂  رابطه زیر برقرار است

 

با توجه به مجموع پایینی و بالایی اشتیل یس ِ تابع f نسبت به a بر می توان تعریف زیر را ارائه داد.

تعریف : انگار a بر صعودی باشد ، انتگرال اشتیل یس بالایی f  نسبت به a بر عبارت است از

 

همچنین انتگرال اشتیل یس پایینی f نسبت به a بر عبارت است از

 

همچنین اگر باشد، آنگاه انتگرال های بالا را به ترتیب به صورت  و  

خواهد بود که آنها را انتگرال بالایی و پایینی ریمان گویند.

به راحتی می توان دید که

 

کنجکاویم بدانیم که اگر انتگرال های بالایی و پایینی با هم برابر باشند، می توان مجموع های بالایی و پایینی را هم به اندازه دلخواه به هم نزدیک کرد یا نه. در شرط ریمان این نکته را می یابیم.

شرط ریمان : گوییم f در شرط ریمان بر حسب a بر صدق می کند در صورتی که به ازای هر e>0، افرازی مانند باشد به قسمی که هرگاه P  از ظریفتر باشد، آنگاه 

 

آنالیز ریاضی ۲ جلسه ۷ قسمت اول(پس از ویرایش)

با قضیه  زیر به این امکان می رسیم که مقدار یک انتگرال بر بازه ی بسته را به مجموع مقدار های این تابع درعدد های صحیح ِ این بازه مربوط کنیم که دارای این مزیت است که گاهی می توان یک انتگرال را به یک مجموع نزدیک کرد و یا یک مجموع را با یک انتگرال تخمین زد. این قضیه به قضیه جمع بندی اویلر معروف است.

قضیه ۲-۱۰: ( قضیه جمعبندی اویلر )

اگر f بر مشتق پیوسته داشته باشد و

که در آن [x] ، تابع جزء صحیح است ؛ آنگاه

برهان : با استفاده از قضیه انتگرال گیری جزء به جزء داریم

  ( ۱)

همچنین با توجه به مثال جلسه قبل داریم :

    ( ۲)

و همچنین طبق خواص انتگرال داریم

  ( ۳)

حال از روابط ( ۱) و ( ۲) و ( ۳) خواهیم داشت

به این ترتیب حکم برقرار است.

اکنون می خواهیم در مورد انتگرال گیر های صعودی بحث کنیم. وقتی a صعودی باشد ، ها همگی نامنفی اند.

تعریف : فرض کنیم P یک افراز از باشد ،

را مجموع اشتیل یس  پایینی و

را مجموع اشتیل یس بالایی ِ تابع f نسبت به a برنامیده می شود که در آن

و

یاد آوری :  همواره

، هرگاه a بر صعودی باشد ، آنگاه  و بنابراین

از طرفی به ازای هرداریم

بنابراین

یعنی

برخیز ز خواب

««‌  بر خیز زخواب تا شرابی بخوریم

                                                         زان پیش که از زمانه تابی بخوریم  »»

««‌ کین چرخ ستیزه روی  ناگه روزی

                                          چندان ندهد امان که آبی بخوریم »»

آنالیز ریاضی ۲ جلسه ۶ قسمت۲ ( پس از ویرایش)

تعریف ۱: تابع a را بر یک تابع پله ای در نقطه ی نامیم اگر به صورت زیر باشد

یعنی تابع a در نقاط غیر ازc تابع ثابت باشد.

تذکر : اگر a در c پله ای باشد ،

و

مثال1 : تابع زیر دریک تابع پله ای است .

قضیه 2-7: اگر a در نقطه c  بر پله ای و f تابعی بر باشد که f و a هر دو از یک طرف در c ناپیوسته نباشند، آنگاه  بر و

برهان : فرض کنیمافرازی از   شاملباشد . در این صورت

بنابراین اگر a در c پیوسته باشد آنگاه برای افراز P ، داریم 

و لذا

 

اگر a در  نا پیوسته باشد

 

بنابراین

 

حال اگر f درc پیوسته باشد وe<0  داده شده باشد، آنگاه d<0  هست که

 

که

 

در این حالت اگر افراز را چنان بگیریم که و  و  به ازای هرخواهیم داشت

   (1) 

یعنی در صورتی که f درc پیوسته و a در c پله ای باشد ، انتگرال فوق وجود دارد. اما اگر f در c ، از راست پیوسته و a در c از چپ پیوسته باشد ، یعنی

 

اگر  e<0 داده شده باشد، d<0 هست که

 

در این حالت کافی است  را افرازی بگیریم که و بنابراین

 

که با جایگزینی این مقدار در نامساوی (1) روابط همچنان درستی خواهیم داشت. یعنی اگرf در c ، از راست وa درc از چپ پیوسته باشد ، انتگرال بالا موجود و قضیه برقرار خواهد بود. و سر انجام در حالتی که f در c ، از چپ وa در c از راست پیوسته باشد ، یعنی

 

اگر e<0 داده شده باشد ، d<0 هست که

 

در این حالت  نیز کافی است  را افرازی بگیریم که و بنابراین

 

که با جایگزاری آن در نامساوی (1) برهان کامل می شود.

مثال: اگرو تابع f  با دامنه R در نقاط صحیح از چپ پیوسته باشد، آنگاه برای هر عدد طبیعی n ، موجود و برابر است با

توجه : مثال و قضیه بالا نشان می دهند که شرط پیوستگی برای انتگرال پذیری ، شرط لازم نیست. یعنی توابعی موجودند که ناپیوسته و انتگرال پذیرند.

در ادامه شکل کلی تابع پله ای را تعریف کرده و چگونگی تحویل انتگرال ریمان-اشتیل یس را به مجموع متناهی و بر عکس را در دو قضیه مجزا بیان می کنیم.

تعریف2: ( تعمیم تابع پله ای ) تابع a با دامنه ی را یک تابع پله ای گوییم در صورتی که افرازی از  مانند

 

وجود داشته باشد به گونه ای که a بر هر زیر بازه ی باز ِ که  دارای مقدار ثابت باشد.

تعریف 3: به ازای k=1 ، جهش در نقطه ی   را برابر با تفاضل  و برای k= n ، جهش در نقطه ی   را برابر با تفاضل  و در دیگر x_k ها( یعنی ) برابر با تفاضل  تعریف می شود.

قضیه 2-8: فرض کنیم a بر تابع پله ای با نقاط افراز ِ  باشد و در نقطه ی x_k ، دارای جهش باشد وf نیز بر طوری  تعریف شده باشد که f و a در هر x_k هر دو همزمان از چپ یا از راست ناپیوسته نباشند. در این صورت  وجود دارد و داریم

 

برهان : طبق خواص انتگرال می توان نوشت

 

حال قضیه 7-2 را برای هر یک از انتگرال های طرف راست ِ تساوی بالا بکار می بریم . خواهیم داشت

 

پس برهان تمام است.

قضیه 2-9: هر مجموع متناهی را می توان به صورت انتگرال ریمان-اشتیل یس در آورد.

برهان: فرض کنیم  یک مجموع متناهی باشد. تابع  f  را بر بازه ی  به صورت و اگر  و  آنگاه 

تعریف می کنیم. در این صورت با در نظر گرفتن  بر این بازه خواهیم داشت

 

که ، جهش تابع a در نقطه x_k  است . چون این جهش برای تابع جزء صحیح برابر 1 واحد است و تابعf در نقاط x_k از راست و تابع جزء صحیح از چپ ناپیوسته اند ، طبق قضیه پیشین داریم

 

این پایان برهان است.

به این ترتیب به پایان این جلسه می رسیم.

آنالیز ریاضی ۲ جلسه ۶ قسمت اول( پس از ویرایش)

برای دسترسی ساده تر به مطالب ، آن ها را در صفحات با حجم کم عرضه می کنیم.

در این جلسه خواهیم دید که انتگرال ریمان ، حالت خاصی از انتگرال ریمان-اشتیل یس است

قضیه 2-6: فرض کنیم بر بازه ی و همچنین بر این بازه پبوسته باشد. انتگرال ریمان وجود دارد و داریم

برهان : فرض کنیم  اگر P افرازی از  باشد ، مجموع ریمان زیر را تشکیل می دهیم

با همان افراز P و همان انتخاب از ها ، مجموع ریمان-اشتیل یس f نسبت به a را تشکیل می دهیم

با استفاده از قضیه مقدار میانگین برای هر ؛ وجود دارد که    .

بنابراین

از آنجا که f کراندار است، پس M>0 هست که برای هرx  از بازه ی داشته باشیم . پیوستگی بر بازه ی ، پیوستگی ِ یکنواخت آن را نتیجه می دهد. پس اگر داده شده باشد ، ی هست که فقط به بستگی دارد و

               (1)

می توان افرازرا از  طوری اختیار کرد که . در این صورت برای هر افراز P ظریفتر از آن داریم

               (2)

بنابراین برای  افراز ِ P، طبق روابط (1) و (2) داریم

و از آن جا که بر ، پس افرازی مانند هست که به ازای هر افراز ِ P ظریفتر از آن

اگر افراز را بر  اختیار کنیم ، به ازای هر افرازP که ظریفتر از آن باشد ، تمامی روابط بالا برقرار خواهند بود . طبق نامساوی مثلث داریم

و این پایان خوش برهان خواهد بود.