ستارگان ریاضی ۸۳
هدف ما ایجاد یک منبع سرشار ریاضی است، ادامه فعالیت های ما در سایت ریاضیات ایران با آدرس www.irmath.com پیگیری می شود منتظرتان هستیمستارگان ریاضی ۸۳
هدف ما ایجاد یک منبع سرشار ریاضی است، ادامه فعالیت های ما در سایت ریاضیات ایران با آدرس www.irmath.com پیگیری می شود منتظرتان هستیم۱.جفت مرتب،حاصلضرب دکارتی، مثال ۱و۲ ، نکته۱
مبانی ریاضیات
فصل سوم رابطه و تابع
چشم انداز
سومین فصلی که معمولاْ در مبانی ریاضات عنوان می شود، رابطه و تابع است. رابطه و تابع روی مجموعه ها تعریف می شوند.پس بجاست که بعد از فصل مجموعه ها ، ارائه شوند. برای آشنایی با رابطه ها و تابع ها، ابتدا زوج مرتب را خواهیم شناخت و پس از آن حاصلضرب دکارتی مجموعه ها را بیان می کنیم.سپس به مفهوم رابطه خواهیم پرداخت و رابطه های مهم مانند رابطه ی هم ارزی و تابع که حالت خاصی از رابطه است، گفته می شود.
حاصلضرب دکارتی مجموعه ها
تعریف ۱جفت مرتب : هر دوتایی مرتب ِ 
که ترتیب قرار گرفتن a و b در آن مهم باشد را یک جفت مرتب گویند.
تعریف۲ جفت مرتب : جفت مرتب به صورت 
نیز تعریف می شود. یعنی=.
اگر = z یک جفت مرتب باشد، a و b را به ترتیب مولفه اول و مولفه ی دوم z گویند و با نماد a=pr1z و b=pr2z نمایش می دهند.
تساوی دو جفت مرتب : دو جفت مرتبو 
را مساوی گویند اگر و تنها اگر
و
.
تعریف حاصلضرب دکارتی دو مجموعه : اگر A و B دو مجوعه ی دلخواه باشند، حاصلضرب دکارتی A و B را با نماد 
نمایش می دهند و مجموعه ی تمام جفت های مرتب ِ است که 
و
باشد. یعنی 
= .
مثال ۱-۳: اگر 
و
، آنگاه
=
=
= 
= 
نکته ۱-۳ : مثال ۱-۳ نشان می دهد که 
. در حالت خاصی که A=B باشد می توان نتیجه گرفت که = . اما عکس مطلب برقرار نیست، یعنی از تساوی = نمی توان نتیجه گرفت که A=B . زیرا اگر و 
=B باشد، آنگاه
=
= و =
=
بنابراین 
=
اما A.
جفت مرتب 
= z را در صفحه ی مختصات به صورت زیر نمایش می دهند:
حاصلضرب دکارتیرا نیز می توان به صورت مجموعه ای از نقاط واقع در صفحه ی مختصات در نظر گرفت.
مثال ۲-۳: حاصلضرب در مثال ۱-۳ روی محور مختصات به صورت زیر است :
۱۴. پارادوکس راسل
پارادوکس راسل
پارادوکس راسل بیان می کند که فرض وجود مجموعه ی تمام مجموعه ها چگونه به تناقض منجر می شود.این پارادوکس را به کمک دو لم و یک قضیه بیان می کنند.
لم ۱ : فرض کنیم مجموعه ی تمام مجموعه ها وجود دارد و 
آنگاه 
.
برهان : به برهان خلف فرض کنیم نقیض حکم یعنی 
درست باشد. پس بنابر تعریف مجموعه ی R داریم که متناقض با فرض است. بنابراین فرض خلف منجر به تناقض می شود. پس
لم ۲ : فرض کنیم مجموعه ی تمام مجموعه ها وجود دارد و آنگاه .
برهان : به برهان خلف فرض کنیم نقیض حکم یعنی درست باشد. پس بنابر تعریف مجموعه ی R داریم که متناقض با فرض است. بنابراین فرض خلف منجر به تناقض می شود. پس .
قضیه ۱۱ : مجموعه ی تمام مجموعه ها وجود ندارد.
برهان : در لم ۱ و ۲ دیدیم که فرض وجود مجموعه ی تمام مجموعه ها منجر به تناقض و می شود. پس مجموعه ی تمام مجموعه ها نمی تواند وجود داشته باشد.
به مجموعه ی مجموعه ی راسل گفته می شود. این مجموعه شامل آن مجموعه ها از مجموعه ی مفروض جهانی است که عضوی از خودشان نباشند.
به این ترتیب به پایان فصل دوم مبانی ریاضیات می رسیم.
۱۳ . قضیه ۹ و ۱۰ تعمیم ها
قضیه ۹ : ( تعمیم قانون دمورگان ) :
اگر 
خانواده ی دلخواهی از مجموعه ها باشد، آنگاه
الف :
=
ب : 
=
برهان : برهان قسمت های الف و ب شبیه یکدیگرند. قسمت ب را با عضو گیری ثابت می کنیم. به این ترتیب که نشان می دهیم هر عضوی که در طرف راست تساوی حکم ب باشد، در طرف چپ نیز قرار دارد و برعکس هر عضوی که در طرف چپ تساوی قرار داشته باشد عضوی از طرف راست تساوی است. پس
تعریف متمم
تعریف اشتراک خانواده
نقیض سورها
تعریف متمم
تعریف اجتماع خانواده ها
اما چون روابط هم ارزی هستند، پس می توان با شروع از عبارت پایین به عبارت بالایی نیز رسید. بنابراین حکم برقرار است.
قضیه ۱۰ : (تعمیم قانون های پخش پذیری ) :
اگر B یک مجموعه و خانواده ای از مجموعه ها باشد، آنگاه
الف :
=
ب: 
=
برهان : الف :
تعریف اجتماع مجموعه ها
تعریف اشتراک خانواده مجموعه ها
تعریف اجتماع مجموعه ها
تعریف اشتراک خانواده مجموعه ها
. برهان قسمت ب مشابه قسمت الف می باشد.
۱۲. تعریف خانوادهی تهی مجموعه ها و قضیه ۸
تعریف خانواده ی تهی مجموعه ها :
اگر مجموعه ی اندیس گذار تهی باشد، یعنی =I و خانواده ی G با =I اندیس گذاری شده باشد، در این صورت به G خانواده ی تهی مجموعه ها گفته می شود. این خانواده را با نماد 
نمایش می دهند.
قضیه ۸ : اگر خانواده ی تهی مجموعه ها باشد، آنگاه
الف : =
ب : U=
برهان : الف : به برهان خلف ، فرض کنیم 
. پس xی در وجود دارد. یعنی
;
با توجه به تعریف اجتماع خانواده های اندیس دار، بایستی حداقل یک 
موجود باشد و 
باشد. یعنی 
. اما مجموعه ی تهی بدون عضو است. پس گزاره ی عطفی پایانی یک تناقض است. بنابراین فرض خلف به تناقض می انجامد که نشان می دهد حکم اولیه = درست است.
ب: بنابر تعریف اشتراک خانواده ها داریم
=
یعنی ، مجموعه ی تمام xهایی در U است که یه ازای آن ها رابطه ی شرطی 
یک گزاره ی درست باشد. اما چون تهی عضوی ندارد پس نادرست است و گزاره ی شرطی به انتفای مقدم ، برای تمام xهای در U برقرار است. پسU=.
۱۱. مثال ۳ و تعریف اشتراک خانواده ی مجموعه ها و مثال ۴
مثال ۳ : اگر خانواده ی مثال ۱ را در نظر بگیریم
=
و همچنین اجتماع خانواده ی مثال ۲ به صورت زیر است:
=
.
اشتراک خانواده ای از مجموعه ها :
اگر G خانواده ای از مجموعه ها باشد، به اشتراک تمام مجموعه های آن، اصطلاحاً اشتراک خانواده مجموعه ها گفته می شود. به عبارت دیگر، اشتراک خانواده ی G ، مجموعه ی تمام xهایی است که x متعلق به تمام مجموعه های خانواده باشد. یعنی
=
=
=
اگر G خانواده ای از مجموعه های اندیس گذاری شده ی Ai باشد که با مجموعه ی I اندیس گذاری شده است، آنگاه اشتراک G عبارتست از :
= 
=
=
و در صورتی که 
عبارت بالا به صورت زیر در می آید:
=
=
=
مثال ۴ : اشتراک خانواده ی مثال ۱ ، مجموعه ی زیر است :
=
و اشتراک خانواده ی مثال ۲ مجموعه
= 
می باشد.