تست های کنکور کارشناسی ارشد با پاسخ « توابع با تغییرات کراندار »

تست و نکته ۱

1. تابع  

 

در فاصله [0,1] مفروض است . در مورد پیوستگی، کرانداری و باتغییرات کراندار بودن f ، بر این بازه ، کدام گزینه درست است؟

1.      پیوسته، کراندار ولی بدون تغییرات کراندار

2.      پیوسته و با تغییرات کراندار

3.      کراندار و با تغییرات کراندار

4.       پیوسته ، کراندار و با تغییرات کراندار

( ریاضی کارشناسی ارشد سال ۱۳83 )

پاسخ : گزینه ی 1 پاسخ صحیح است. پیوستگی و کرانداری تابع داده شده واضح است ولی بدون تغییرات کراندار است زیرا اگر افراز

 

را در نظر بگیریم

 

از آنجا که سری

 

واگراست پس برای n های بزرگ ،

 

از هر اندازه ی دلخواه بزرگتر می شود .

نکته : به ازای a>0 و b>0 ، توابع

 

وقتی که  و ، بر بازه ی [0,1] ، با تغییرات کراندارند اگر و فقط اگر a>b

را حل این نکته این گونه است . برای تابع i ، افراز

 

را در نظر می گیریم. داریم

 

که به ازای همگراست. یعنیa>b.

حال اگر a>b ، تابع  بر زیر بازه های افراز فوق، صعودی یا نزولی خواهد بود. بنابر این  موجود است .( توابع یکنوا بر بازه های بسته، با تغییرات کراندارند.)

به طور مشابه با انتخاب

 

اثبات می شود. همچنین چون این توابع نسبت به محور y ها دارای تقارن اند، می توان با انتخاب  

ثابت کرد که این توابع بر با تغییرات کراندارند اگر و فقط اگر a>b. لذا  توابع فوق بر بازه ی با تغییرات کراندارند اگر و فقط اگر a>b.

آنالیز ریاضی ۲ . جلسه ۵ ( پس از ویرایش )

انتگرال ریمان-اشتیل یس

چشم انداز : در این جلسه دو قضیه را اثبات خواهیم کرد که نخستین آن به انتگرال گیری به روش جزء به جزء شهرت دارد و دیگری تغییر متغیر در انتگرال ریمان-اشتیل یس را بیان می کند.

ابتدا با توجه به بحث جلسه قبل ، تعریف زیر را ارائه می دهیم.

تعریف : اگر  وجود داشته باشد، تعریف می کنیم

 

و همچنین

 

قضیه ۴-۲: (انتگرال گیری به روش جزء به جزء) اگر بر بازه ی ، آنگاه بر و داریم

 

برهان: فرض کنیم e>0 داده شده باشد، از آن جا که  وجود دارد لذا افرازی مانند  موجود است که به ازای هر افراز ظریفتر از آن مانند 'P  ، داریم

 (*)

مجموع ریمان-اشتیل یس را برای تابع  a نسبت به f بر بازه ی برای هر افراز دلخواه P، ظریفتر ازتشکیل می دهیم

   (1)

قرار می دهیم

 

داریم

  (2)

در این صورت از تفاضل روابط (1) و (2) دایم

 

اگر را افرازی از بگیریم که شامل تمام x_k ها وt_k ها باشد ، طرف راست تساوی فوق را می توان به صورت یک حاصل جمع به شکل ، نوشت. یعنی

 

در این صورت ، از P ظریفتر است و لذا از نیز ظریفتر خواهد بود. بنابراین نامساوی (*) برقرار خواهد بود و داریم

 

یعنی

 

باجایگزینی مقدار A داریم

 

به این ترتیب به پایان برهان می رسیم.ð

قضیه ۵-۲ :(­­­ تغییر متغیر در انتگرال ریمان-اشتیل یس )

فرض کنیم بر و g تابعی پیوسته و یکنوای اکید باشد که بر بازه ی I  با نقاط انتهایی ِ c و d تعریف شده باشد و داشته باشیم و . فرض کنیم h و b توابعی مرکب با ضوابط زیر باشند

  و

در این صورت   بر بازه ی I و داریم

 

برهان: فرض کنیم g بر بازه ی I  اکیداً صعودی و پیوسته باشد. پس یک به یک است . بنابراین

 

و تابع g^-1  نیز بر بازه ی اکیداً صعودی و پیوسته است. با این شرایط ، متناظر با هر افراز  از [ c.d] ، یک و تنها یک افراز ِ از [a,b]  وجود دارد که

 

به عبارت دیگر می توان نوشت

 

همچنین متناظر با هر تظریف ِ P ، یک تظریف   وجود دارد و بر عکس. حال فرض کنیم e>0 داده شده باشد. چون بنابراین افراز  از وجود دارد که به ازای هر افراز ظریفتر از آن ، مثل داریم

 

متناظر با ، افراز  را بر [ c,d ] داریم. فرض کنیم افرازی بر [c,d] باشد که از ظریفتر باشد. مجموع ریمان-اشتیل یس را برای تابع  h نسبت به b بر بازه ی [c,d] به ازای  و تشکیل می دهیم

 

حال اگر قرار دهیم

  و

به افراز ِ از  می رسبم که ظریفتر از   است. با توجه به تعاریف h وb داریم

 

که

 

به این ترتیب به پایان برهان می رسیم.ð

تا جلسه بعد....

برگزیدگان المپیاد ریاضی

دانشجویانی که جهت شرکت در مسابقات دانشجویی کشور برگزیده شده اند:

1. مهدی ترابی اردکانی
2. رحیم رمضان پور
3. صفورا ظفرجعفرزاده
4. آرش قاآنی
5. امین نعمت بخش

تیم منتخب برای شرکت در المپیاد ریاضی

1. ساناز پویا
2. مهدی ترابی اردکانی
3. رحیم رمضان پور
4. آرش قاآنی
5. صفورا ظفرجعفرزاده

آنالیز ریاضی ۲ جلسه ۴ قسمت۲( پس از ویرایش )

قضیه ۱-۲: اگر و بر بازه ی بسته [a,b] آنگاه به ازای هر دو عدد حقیقی و متناهی c و d  داریم بر بازه ی بسته [a,b]   و

 

برهان : فرض کنیم  h = cf + dg   . به ازای یک افراز مفروض از بازه ی بسته [a,b] مانند P می توان نوشت

 

اکنون اگر e>0 داده شده باشد، را طوری انتخاب می کنیم که برای هر افراز P که نا مساوی ِرا ایجاب کند. همچنینرا طوری انتخاب می کنیم که برای هر افراز P که نامساوی بر قرار باشد . اگر، به ازای هر افراز ِ ظریفتر از  مانند P داریم

 

از آنجا که c و d اعداد حقیقی متناهی اند و روابط فوق به ازای هر e>0 برقرار اند ، لذاو

 

و این پایان برهان است.ð

مشابه قضیه فوق (قضیه ۱-۲) که برای ترکیب خطی دو تابع انتگرالده روی یک انتگرالگیر و بازه ی بسته مشترک بیان شد، می توان برای ترکیب خطی دو تابع انتگرالگیر با انتگرالده و بازه ی بسته مشترک بیان و اثبات کرد. ما این قضیه را بیان کرده و از ذکر اثبات آن خودداری می کنیم .

قضیه 2-2: هرگاه وبر بازه ی [a,b]، آنگاه به ازای هر دو عدد حقیقی متناهی ِ c و d داریم

بر بازه ی [a,b]  و .

قضیه زیر به این مطلب اشاره دارد که اگر تابع f بر بازه ای بسته نسبت به a دارای انتگرال ریمان-اشتیل یس باشد، برهر زیر بازه ی بسته ی آن  نیز دارای انتگرال ریمان-اشتیل یس است.

قضیه ۳-۲ : فرض کنیم ، اگر دو انتگرال از سه انتگرال زیر موجود باشند، آنگاه انتگرال سوم نیز موجود خواهد بود و

 

برهان :  فرض کنیم بر بازه های و  و e>0 داده شده باشد . افراز ، از موجود است به طوری که به ازای هر افراز ظریفتر از آن ، مانند P₁  داریم

 

و همچنین افرازی مانند از موجود است به طوری که به ازای هر افراز ظریفتر از آن ، مانند P₂ داریم

 

اکنون افرازی از[a,b]  خواهد بود . اگرP افرازی از[a,b]  به طوری که از ظریفتر باشد، افرازهای

  و

به ترتیب از افرازهای و ظریفتر خواهند بود. داریم

 

از طرفی

 

پس  بنابر تعریف بر [a,b]  و . به این ترتیب برهان این قضیه نیز کامل می شود. ð

آنالیز ریاضی ۲ جلسه ۴ قسمت ۱ ( پس از ویرایش )

انتگرال ریمان-اشتیل یس

چشم انداز: ابتدا انتگرال ریمان-اشتیل یس را تعریف کرده ، سپس با ذکر چند مثال مطلب را روشن می کنیم. پس از آن رابطه ی بین دو تابع انتگرال پذیر f و g  بر یک بازه ی بسته مشترک و مجموع آن ها را بررسی کرده و سرانجام خواهیم دید که اگر تابعی بر بازه ی بسته ای دارای انتگرال ریمان-اشتیل یس باشد ، بر هر زیر بازه ی بسته ی آن نیز دارای انتگرال ریمان-اشتیل خواهد بود. پس....

تعریف۱۰-۲: اگر f و a روی بازه ی  تعریف شده  و کراندار باشند و  افرازی از آن بازه باشد،

 

در این صورت برای هر  مجموع ریمان-اشتیل یس تابع  f  نسبت به a  را بر بازه ی به صورت زیر تعریف می کنیم:

 

تعریف2-2: گوییم تابع f  نسبت به a بر بازه ی دارای انتگرال ریمان-اشتیل یس است و می نویسیم بر بازه ی هرگاه عددی مانند A موجود باشد به طوری که برای هر e<0 ، افرازی مانند   موجود باشد که برای هر افراز ِ P  که ظریفتر ازباشد، داشته باشیم

 

چنین Aیی در صورت وجود یکتاست و با نماد نشان می دهیم. f  را تابع انتگرالده و a را تابع انتگرال گیر می نامند.

مثال۱-۲: فرض کنید و تابع f  بر بازه ی  به صورت زیر تعریف شده باشد

 

در این صورت با فرض A=1 و اگر انتخاب شود داریم

 

همچنین در این حالت اگر P افرازی ظریفتر از با شرط  باشد خواهیم داشت

 

بنابراین

 

و بعلاوه اگرباشد داریم

یعنی

پس . یعنی f نسبت به a بر بازه ی [0,1] دارای انتگرال ریمان-اشتیل یس خواهد بود و. 

مثال 2-2 : اگر  و بر بازه ی  باشند. فرض کنیم، در این صورت برای هر افراز افراز را می سازیم .( افرازP ظریفتر ازاست). اگر فرض کنیم داریم

لذا برای هر عدد حقیقی A نمی توان دو رابطه ی  و را داشت زیرا در این صورت

 

یعنی 2<1 که تناقض آشکاریست. پس افراز P ظریفتر از هست که

 

پس بر بازه ی  .

مثال ۳-۲:  و  در این صورت بر بازه ی [0,1] . زیرا با فرض A=1 ، برای هر e>0 ، را افرازی دلخواه از [0,1] می گیریم . اگر P افرازی ظریفتر از بر بازه ی [0,1] باشد، داریم

 

ولذا

 

پس   و.

ادامه دارد.....