خانواده توابع متساویاْ پیوسته

خانواده توابع متساویاْ پیوسته  ( Equicontinuous family of function ) :

خانواده ی F از توابع تعریف شده بر مجموعه ی E را متساویاْ پیوسته گوییم هرگاه :

ادامه همگرایی یکنواخت

.....ادامه از قبل

قضیه یشین از آن جا مهم است که همگرایی نقطه ای ِ توابع پیوسته ، همان طوئ که شکل نشان می دهد، برای ضمانت پیوستگی ِ تابع حد ، کافی نیست.

اگر S یک بازه باشد و تمام f_n  ها مشتق پذیر و همگرا به حد f  باشند ، آرزومندیم تا با حد گیری از مشتقات ِ  f_n  ، به  مشتق تابع حدی f برسیم. ( یعنی   ). اگر چه این موضوع عموماْ برقرار نیست : حتی اگر همگرایی یکنواخت باشد ، لزومی ندارد که تابع حدی f ، مشتق پذیر باشد و حتی اگر مشتق  پذیر باشد، لزومی ندارد که مشتق تابع حدی f ، با حد مشتق تابع های  f_n  برابر باشد .

نمونه وار ، تابع   همگرای یکنواخت به تابع  f(x)=0 است ؛ اما مشتقاتش به صفر میل نمی کنند. بیان دقیقی که این مطالب را پوشش می دهد به صورت زیر است :

اگر f_n  همگرای یکنواخت به f باشد و همه ی f_n  ها مشتق  پذیر باشند و f'_n  نیز همگرای  یکنواخت به g باشد،

در این صورت f نیز مشتق  پذیر  است ومشتق f با g برابر است.

به طور مشابه ، اغلب دوست داریم فرایند انتگرال و حد را مبادله کنیم. برای انتگرال پذیری ریمان ، نیازمند همگرایی یکنواخت هستیم :

اگر ‌{ f_n }  دنباله ای از توابع انتگرال پذیر ریمان باشد که  همگرای یکنواخت به f است.

در این صورت f نیز  انتگرال پذیر ریمان است و انتگرال f را می توان از حد انتگرال های  f_n ‌ها محاسیه کرد.

( یعنی    )

در این باره ، اگر به جای انتگرال پذیری ریمان ، انتگرال پذیری لبگ را جایگزین کنیم ، قضیه ی بسیار قویتری کسب می کنیم که چیزی بیش از همگرایی نقطه ای نیاز ندارد :

اگر S یک بازه ی فشرده باشد،( یا عموماً یک فضای توپولوژیک فشرده ) و ‌{ f_n }  دنباله ای صعودی  از توابع پیوسته باشد

 ( یعنی  برای هر n وx )، که همگرای نقطه ای به تابع پیوسته f است،  

آنگاه همگرایی لزوماً یکنواخت است.( قضیه دینی Dini Theorem ). همچنین همگرایی یکنواخت  در صورتی ضمانت شده است که

S یکبازه ی فشرده و   ‌{ f_n } یک دنباله ی متساویاً پیوسته و همگرای نقطه ای باشد.

تاریخچه

‹‹ آگوستین لوئیس کشی Augustin Louis cauchy ›› در سال ۱۸۲۱ اثبات ناقصی از یک بیان اشتابه را منتشر کرد که حد ِ نقطه ای ِ دنباله ی توابع پیوسته ، همیشه پیوسته است. ‹‹ جوزف فوریه Joseph Fourier ›› و ‹‹ نیلز هنریک آبل Niels Henrik Abel ›› مثال های نقضی در زمینه ی سری های فوریه پیدا کردند. پس از آن ‹‹ دیریکله Dirichlet ›› اثبات کشی را وارسی کرد و متوحه اشتباه شد : عقیده ی همگرایی نقطه ای مجبور شد جای خود را به همگرایی یکنواخت بدهد.

منبع :

  همگرایی یکنواخت در ویکی پدیا 

همگرایی یکنواخت در ویکی پدیا

 

همگرایی یکنواخت

Uniform convergence  

از ویکی پدیا ‹‹ دایرة المعارف آزاد ››

در آنالز ریاضی دنباله ی ‌‌ {f_n } از توابع ، همگرای یکنواخت به تابع حدی f است هرگاه روند همگرای ِ  {f_n } به f ، به  x  بستگی نداشته باشد . این عقیده از آن جهت استفاده می شود که چندین ویژگی مهم ِ توابع  {f_n } ، مانند پیوستگی ، مشتق پذیری  و انتگرال پذیری ریمان ، تنها در صورتی که همگرایی یکنواخت باشد به تابع حدی f منتقل می شوند .

تعریف و مقایسه با همگرایی نقطه ای ( Difinition and comparison with pointwise convergence )  : 

 انگار  S  یک مجموعه و به ازای هر عدد طبیعی  n ،   ، توابعی حقیقی مقدار باشند. گوییم دنباله ی { f_n }  به طور یکنواخت همگرا به حد   است اگر و تنها اگر

برای هر e >۰ ،  عدد طبیعی  N طوری وجود داشته باشد که برای هر x در S  و هر   داشته باشیم

 . 

 مقایسه این مفهوم با مفهوم همگرایی نقطه ای  : دنباله ی { f_n }  همگرای نقطه ای  به   است اگر و تنها اگر

برای هر x درS و هر  e >۰ ،  عدد طبیعی  N طوری وجود داشته باشد که برای هر  داشته باشیم

 . 

درهمگرایی یکنواخت ، N  تنها به e بستگی دارد در حالی که در همگرایی نقطه ای  N  ، به e و x بستگی دارد . بنابراین آشکار است که همگرایی یکنواخت ، همگرایی نقطه ای را نتیجه می دهد .

همان طور که مثال زیر نشان می دهد ، عکس مطلب برقرار نیست :

گیریم S بازه ی واحد [a,b] باشد و برای هر عدد طبیعی  n تعریف می کنیم . پس { f_n }  همگرای نقطه ای به تابع f‌که به صورت زیر تعریف شده ،  است :

اگر x<۱ آنکاه  f(x) = 0  و f(۱) = 0 .

این همگرایی ،  یکنواخت  نیست . نمونه وار برای  ، هیچ Nی که نیاز تعریف را برآورده کند، وجود ندارد.

فرمولبندی توپولوژیکی ( Topological reformulation ) :‌

فضای توپولوژی X داده شده است. می توانیم فضای توابع با مقادیر حقیقی یا مختاط  و کراندار روی X را با نرم یکنواخت توپولوژی مجهز کنیم. به این ترتیب  همگرایی  یکنواخت به سادگی در  توپولوژی  نرم یکنواخت  ، همگرایی معنا می دهد.

قضیه ها ( Theorems ) :

اگر S یک بازه ی حقیقی (‌ یا در واقع هر فضای توپولوژی ) باشد، می توانیم درباره ی همگرایی ِ توابع f_n و  f صحبت کنبم. قضیه زیر ، نتیجه ی بسیار مهمی درباره ی  همگرایی  یکنواخت  است :

  قضیه همگرایی  یکنواخت  :  اگر { f_n } دنباله ای از توابع ِ پیوسته باشد که همگرای یکنواخت به تابع f  است . آنگاه f نیز  پیوسته است .

مثال نقضی برای عکس   قضیه همگرایی  یکنواخت :  توابع ِ پیوسته ی سبز رنگ ِ ، همگرا به تابع ناپیوسته ی قرمز رنگ است ، زیرا همگرایی یکنواخت نیست .

ادامه دارد ....

قضیه تخمین وایراشتراس

در قسمت ترجمه ، سعی می کنیم جدیدترین مطالب را تهیه و ترجمه کنیم . بدون تردید ، اولویت با متن هایی است که هماهنگی بیشتری با آموزه های پیشین ما داشته باشد. ترجمه ی ما ، ترجمه ی لغت به لغت نیست و سعی می کنیم مفهوم جمله را با زبانی گویا ارائه کنیم.

در نخستین گام ، بنا به درخواست دوست گرامی مان آقای زارعی ، با قضیه تخمین وایراشتراس در خدمتیم. و اما...

قضیه ی تخمین وایراشتراس نشان می دهد که توابع با مقادیر حقیقی روی یک بازه فشرده ، با یک چند جمله ای ، به طور یکنواخت می توان تخمین زد.  به دیگر بیان ، چند جمله ای ها نسبت به نرم-سوپریمم (norm-sup) ، به طور یکنواخت در     چگالند. نخستین اثبات بر قضیه فوقدر سال 1911 ارائه شد که فقط از روش های ابتدایی استفاده می کند و یک الگوریتم صریح برای تخمین یک تابع با استفاده از یک کلاس از جند جمله ای هاست ، امروزه به نام خودش معروف است .

« قضیه تخمین وایراشتراس The Weierstrass Approximation Theorem »   در حقیقت حالت خاصی از یک قضیه اصلی تر ‹‹ استون-وایراشتراس  The Stone-Weierstrass Theorem ›› است که در سال 1937 توسط ‹‹  استون ›› فراهم شده است.

تعریف1-1 : ‹‹ چند جمله ای های برنشتاین Bernstein Polynomials  ›› : برای هر ،  n–مین چند جمله ای برنشتاین از تابع به صورت زیر تعریف می شود

 

 قضیه 1-1 « قضیه تخمین وایراشتراس  (1885) The Weierstrass Approximation Theorem   » : فرض کنیم  . دنباله ای از چندجمله ای ها وجود دارد  به طوری که همگرای یکنواخت به بر است.

برهان: ابتدا فرض کنیم  ، نخست قضیه را در این حالت اثبات می کنیم.  قضیه اصلی با یک تغییر متغیر اثبات خواهد شد.

از آن جا که [0,1] فشرده است، پیوستگی f ، پیوستگی یکنواخت را نتیجه می دهد. بنابر این برای e > ۰ داده شده ، d > ۰ ی هست که

 

حال فرض کنیم  ،  ( )  توجه کنید که M موجود است چون f پیوسته بر یک باره ی فشرده  است .  را ثابت در نظر می گیریم . اگر  ، آنگاه چون f پیوسته است    . متناوباً اگر ، آنگاه

 

حال اگر دو نامساوی بالا را با هم ترکیب کنیم داریم :

 

 چند جمله ای برناشتاین می تواند f را بر [0,1] تخمین بزند. ابتدا ثوجه کنید که

 

و

 

که از قضیه دو جمله ای در تساوی دوم استفاده شده است . بنابراین

 

که در دومین گام از این حقیقت که  برای   و  برای استفاده شده است. هر دوی این گزاره ها را مستقیماْ با استفاده از تعریف می توان اثبات کرد. همچنین می توان نشان داد که

 

بنابراین

 

مخصوصاً

 

با یک محاسبه ساده می توان نشان داد که ماکزیمم تابع z-z²  روی [0,1] ،   می باشد. بنابراین

 

بنابراین با انتخاب ، به ازای هر   داریم  

 که این قضیه را برای توابع پیوسته بر [0,1]  ثابت می کند. حال فرض کنیم فرض کنیم   یک تابع باشد.F یک همسانریختی است. بنابراین تابع مرکب   یک تابع ِ پیوسته بر [0,1] است . با بکار بردن قضیه برای توابع پیوسته بر  [0,1] ، قضیه برای هر بازه ی دلخواه برقرار است.  

به این ترتیب برهان کامل می شود. ƒ

درخواست :

از آنجا که ما هنوز در ابتدای راهیم ، از تمامی اساتید ، ریاضی دانان و دانشجویان ریاضی و هر کسی که دستی در ریاضی دارد خواهشمندیم نظرات و راهنمایی های اصلاحی خود را برای هر چه بهتر شدن  و پربار تر شدن این وبلاگ ، اعلام کنند. ما در قسمت ‹‹ کلبه افکار ››  منتظز شما هستیم. با پیام های خود ما را به ادامه کار دلگرم کنید...

******‹‹‹ ...... با تشکر ...... ›››******