مسابقه انتخابی المپیاد

مرحله اول مسابقات ریاضی دانشجویی

« دانشگاه فردوسی مشهد»

27/11/1384

۱. گروه G دقیقا ً ذارای سه زیر گروه است اگر و فقط اگر دوری از مرتبه p²  باشد.( p عددی اول است)

۲. فرض کنید

یک دنباله دقیق از فضاهای برداری با بعد متناهی و تبدیلات خطی باشد. ثابت کنید

dimA + dimC =dimB + dimD

۳. فرض کنیم ||.|| تابعی روی فضای برداری X باشد که تمام خواص نرم به جز نامساوی مثلث را دارد و به جای نامساوی مثلث ، نامساوی متوازی الاضلاع را به شکل زیر داریم

 

ثابت کنید  یک فضای نرم دار است.

۴. در یک گراف مانند یک زیر مجموعه از رئوس مانندD را مسلط نامیم هر گاه به ازای هررأسی مانند

و یالی مانند موجود باشد . Dرا قویا ً مسلط می نامیم هر گاه برای هر، این شرط برقرار باشد. درجه ( قویا ً) تسلطی Dرا مینیمم مقدار |D|که در آن، مجموعه v(G ( قویا ً ) مسلط است، تعریف و با نماد نشان داده می شود. ثابت کنید

 

آنالیز ریاضی ۲ . جلسه ۲ ( پس از ویرایش)

 تعریف ۶-۱ : فرض کنیم با تغییرات کراندار باشد. در این صورت بنا بر تعریف اگر P یک افراز بر باشد آنگاه از بالا کراندار است. لذا دارای سوپریمم است . سوپریمم مجموعه فوق را تغییر کل تابع f از a تا b می نامیم و می نویسیم

یعنی

قضیه ۴-۱: فرض کنیم f و g  بر بازه با تغییرات کراندار باشد . در این صورت  f+g  و f-g و f.g  نیز بر با تغییرات کراندارند و داریم

که در آن

برهان : فرض کنیم  افرازی از بازه ی باشد،

و لذا 

یعنی  بر بازه با تغییرات کراندار است.

برای افراز فوق

زیرا

و به این ترتیب برهان قضیه کامل می شود.ð

قضیه ۴-۱ : فرض کنیم f  بر بازه با تغییرات کراندار باشد و عدد m>0  موجود باشد به طوری که   آنگاه  بر بازه با تغییرات کراندار است و

برهان :

 فرض کنیم افرازی دلخواه از بازه ی باشد، داریم

و این نتیجه ی مطلوب است .ð

قضیه ۵-۱: فرض کنیم f  بر بازه  با تغییرات ِ کران دار است. در این صورت  f  بر[a,c]  و    [c,b] ( که c بین a وb است) با تغییرات کراندار است و

برهان : اگر P₁ افرازی ازو P₂  افرازی از باشد ، آنگاه   افرازی از بازه ی  است و 

پس 

   

در نتیجه f بر بازه های و با تغییرات کراندار است و

  ( ۱)

بر عکس  فرض کنیم P  افرازی ازباشد ، قرار می دهیم و و در این صورت 

 

واز طرفی چون افراز Pّ  ظریف تر از افراز P است داریم:

لذا

( ۲)

روابط ( 1 ) و( 2 ) ما را به پایان برهان می رساند. 

تعریف ۷-۱ : فرض کنیم f  بر بازه ی با تغییرات کراندار باشد، برای هر تعریف می کنیم

 

بنابر قضیه قبل، این تعریف با معناست و اگر  آنگاه

 

پس V بر بازه ی صعودی است.

قضیه ۶-۱ : f  بر بازه ی با تغییرات کراندار است اگر و فقط اگر بتوان آن را به صورت تفاضل دو تابع صعودی نوشت.

برهان: اگر f  را بتوان به صورت تفاضل دو تابع صعودی نوشت ، آنگاه چون توابع یکنوا بر بازه های بسته، باتغییرات کراندارند، لذا f  با تغییرات کراندار است.

برعکس اگر f  بر بازه ی با تغییرات کراندار باشد، آنگاه قرار می دهیم  . دیدیم که V_f  صعودی است .

اگر آنگاه داریم 

 

لذا تابع  صعودی است و برهان کامل است.ð

مثال۳-۱ : تابع  بر بازه با تغییرات کراندار است و تابع  نیزبر بازه با تغییرات کراندار است.

نکته۱-۱ : مثال فوق نشان می دهد که نمایش ِ تابع با تغییرات کراندار، به صورت تفاضل دو تابع صعودی منحصر به فرد نیست .

آنالیز ریاضی۲ جلسه اول( پس از ویرایش )

 

سر فصل ها

توابع با تغییرات کراندار
1. انتگرال ریمان-اشتیل یس
2. دنباله توابع
3. سری فوریه

توابع با تغییرات کراندار

تعریف۱-۱: یک افراز از  بازه ی عبارتست از تعداد متناهی از نقاط چونکه

تعریف۲-۱: اگر یک افراز از بازه باشد ، هر بازه ی را یک زیر بازه از افراز P گوییم.

 تعریف۳-۱: اگر  افرازی از بازه ی باشد ، آنگاه نرم P را با ||P|| نشان می دهیم و عبارتست از

                                               

تعریف۴-۱: فرض کنیم یک تابع باشد.در این صورت، برای هر افراز از ، تعریف می کنیم

                                                        

مثال۱-۱: اگر افرازی از باشد و اگر   

آنگاه 

و

          

تعریف ۵-۱:  تابع را بر با تغییرات کراندار نامیم هرگاه بتوان عددی مانند M به گونه ای یافت که به ازای هر افراز P از داشته باشیم

                                                 

قضیه۱-۱: هر تابع یکنوا بر بازه با تغییرات کراندار است .

برهان :فرض کنیم f بر بازه صعودی باشد، در این صورت قرار می دهیم

 

برای هر افراز از داریم

لذا f با تغییرات کراندار است. در صورتی که f نزولی باشد، با برهانی مشابه، نتیجه مطلوب حاصل خواهد شد.ð

قضیه۲-۱: هر تابع با تغییرات کراندار بر ، بر این بازه کراندار است .

برهان: فرض کنیم f بر با تغییرات کراندار باشد و M>0 چنان باشد که به ازای هر افراز P از

 

 در این صورت اگر دلخواه باشد، افراز را در نظر بگیرید. در این صورت داریم

از طرفی داریم

یعنی f کراندار است. ð

نتیجه۱-۱: اگر f بر بازه ای با تغییرات کراندار باشد، بر این بازه، کراندار است . اما در حالت کلی عکس این مطلب درست نیست . یعنی ممکن است تابعی کراندار باشد ولی با تغییرات کراندار نباشد.

مثال۲-۱:  فرض کنیم  در این صورت f بر هر بازه مخصوصاً [1 ، 0] کراندار است. در این صورت برای هر عدد طبیعی M ، افراز  که در آن  در این صورت

                      

 نشان می دهد که f با تغییرات کراندار نیست.

قضیه ۳-۱: اگربر بازه دارای مشتق کراندار باشد، آنگاه f بر با تغییرات کراندار است.

برهان: فرض کنید

قرار می دهیم  .در این صورت برای هر افراز از بازه داریم 

                                            

بنابر قضیه مقدار میانگین

                            

در نتیجه

                  

لذا

   

 و برهان کامل است.ð

نتیجه ۲-۱ : هر چند جمله ای، بر هر بازه با تغییرات کراندار است .

اطلاعیه

در آغاز راهی هستیم بس طولانی

                                           دشوار

ولی.....

               چه کسی بود صدا زد با راز ؟!!!....

                               و کجاست یاری دهنده ای که یاری دهد او را ؟؟؟!!!.....

آمده ایم وآماده ایم تا با جان و دل

                                 به ناگفته هایتان

                                             گوش سپاریم.

ادعا نمی کنیم و کار ما نیست !

                 که اشک های روان از گوشه ی چشم درونی را

                                   توانیم خشکاند

اما شاید بتوانیم اصطکاکی ....

                   سنگ راهی .....

                              دست تقدیری ....

                                       باشیم، بر سر راه جویباران.

امروز به یاد آن ها که سراپا گوشند؟!!!!

           ساخته ایم

                     از دست ساز های انسانی

                                              مکانی مجازی

                                                       محرم رازی

           برای فریاد ها

                    درد و دل ها

                       شکوه و شکایت ها

          و حتی درخواست های شما

                        از علم و از عالم

                                          از مال و از پامال .

چو دیدی که دلتنگی

                            غمگینی

                                        سنگینی

                                                      مسکینی

چو ما را قابل دانستی

                    و محرم راز ما را محرم راز دانستی

می توانی با پیامی

                   با سلامی

                           با کنایی

                                    با نوایی

خودت را برهانی از  دلتنگی و

                                غمگینی و

                                        سنگینی و

                                               مسکینی

که چه زیبا گفت حافظ ، دوش نیمی

هزار شکر که بینم به کام خوشت باز

                                             ز روی ِ صدق و صفا گشته با دلم دمساز

روندگان ِ طریقت ره بلا سپرند

                                          رفیق ِ عشق چه غم دارد از نشیب و فراز؟

غم حبیب نهان به ز گفتگوی ِ رقیب

                                          که نیست سینه ی ارباب ِ کینه ، محرم راز

چه گویمت ز سوز ِ درون چه می بینم؟

                                         ز اشک پرس حکایت، که من نیَم غماز

سعی داریم در [e-mail]

محرم رازتان باشیم.

می توانید درددل ها، دل تنگی ها، فریاد ها و مشکلات خود ، اعم از درسی و غیر درسی، مالی و خانوادگی و...را با ما در میان گزارید.

سعی ما این است که تا آخرین توان خود ، مشکلات شما را به طور کاملا ً محرمانه، ان شاءالله برطرف نماییم.

اگر موفق شدیم که خدا را شکر و اگرهم که ناکام موفقیت ماندیم، باز هم خدا را شکر که توانسته ایم حداقل ، سنگ ِ صبور دل صبورتان باشیم .

بسم الله...

 ما منتظریم ....

مسابقه انتخابی

قابل توجه تمامی دانشجویان دانشکده

روز پنج شنبه ۲۷/۱۱  مسابقه انتخابی اعضایی تیم المپیاد ریاضی دانشکده برگزار می شود.

شرکت برای تمام دانشجویان دانشکده آزاد است.

امتحان از دروس آنالیز ؛ جبر ۱؛ جبر خطی و ریاضی وسوالات هوش خواهد بود.

در پایان ۵ نفر اعضای تیم گزینش خواهند شد.