۴.اثبات قسمت الف نکته ۳ و نمودارهای ون

اثبات نکته۳ : اکنون بایستی ثابت کنیم این سه تعریف معادل اند. برای این منظور نشان کی دهیم هر عضو از گزاره ی تعریف، عضوی از گزاره ی نکته۳ است و برعکس. اثبات قسمت « الف » به صورت زیر است اما قسمت « ب » نیاز مند مقدمات جدیدی است و پس از بیان مقدمات، آورده می شود

   تعریف و توضیح 

                تعریف اجتماع

            تعریف متمم

نمودار های ون :

اگر مجموعه مرجع ( مجموعه ی مفروض جهانی ) را با یک مستطیل و زیر مجموعه های آن را با دایره هایی درون آن نشان دهیم ، به شکل ها یا نمودار هایی می رسیم که به نمودار های ون معروف هستند. این نمودارها در درک بهتر اعمال مجموعه ها به ما کمک می کنند. از این نمودار ها نمی توان به عنوان اثبات قضیه ها بهره برد و استدلال با نمودار ون در ریاضیات جایی ندارد. از نمودار های ون می توان به عنوان مثال شهودی استفاده کرد.

نمودار های ون مربوط به اعمال مجموعه ها را در زیر مشاهده می کنید. قسمت های مورد نظر با آبی رنگ آمیزی شده اند.

۱.                     قسمت قرمز رنگ

 

 

۲.                     

 

 

                      

۳.                  

 

 

 ۴.           B-A         

 

 

 

۵.      A'= U-A         

 

                    

 ۶.      A B          

 

  - ۴ -

---

صفحه قبلی : « ۳ » ،   « ۲ » ،  « ۱ »

نکته۱. متمم. تفاضل متقارن .نکته۲، نکته ۳

نکته ۱: برای دو مجموعه دلخواه A و B ، اگر= ، آنگاه A و B را دو مجموعه مجزا گویند.

۵.  متمم  : اگر A و B  دو مجموعه ی دلخواه باشند، « متمم A نسبت به B »، « مجموعه ایست شامل تمام عناصری که عضو B هستند و عضو A نیستند».« متمم A نسبت به B » را با نماد « B-A » نشان می دهند . به عبارت دیگر متمم A نسبت به B  یعنی

 =  B-A

 نکته ۲ : اگر U  مجموعه مرجع یا جهانی ( مجموعه ای که تمام مجموعه ها نسبت به آن سنجیده می شوند. )باشد و A مجموعه ای دلخواه از U باشد ،  آنگاه « متمم A نسبت بهU » را با نماد « 'A » نشان می دهند که « مجموعه ایست شامل تمام عناصر U که در A نیستند». یعنی:

=A'= U-A 

 ۶. تفاضل متقارن : اگر A و B  دو مجموعه ی دلخواه باشند، « تفاضل متقارن  A و B  مجموعه ایست شامل تمام عناصری که یادر A باشند یا در B و نه در هر دو».« تفاضل متقارن  A و B  » را با نماد « A B »  نشان می دهند. در بعضی کتاب ها تفاضل متقارن  را با نماد «  A B » نشان می دهند.

 =  A B

نکته۳.  تفاضل متقارن   A و B  را  به صورت های زیر نیز تعریف می کنند:

 (  ) - () =  A B

 =  A B

اثبات این نکته در جلسه آینده بیان خواهد شد.

  - ۳ -

---

صفحه قبلی :  « ۲ » ،  « ۱ »

فصل ۱ مبانی ریاضیات

۲. تساوی-زیرمجموعه- اجتماع-اشتراک مجموعه ها

توضیح : نماد سه نقطه در یک مجموعه نشان می دهد که عناصر مجموعه با یک ترتیب خاص ادامه می یابند. از ویرگول « ، » نیز برای جدا کردن عناصر مجموعه از یکدیگر استفاده می کنیم.

 اعمال مجموعه ها :

برای مجموعه ها نیز اعمالی تعریف می شود که می توان با کمک این اعمال ، مجموعه های جدید ساخت. در مقام مقایسه ، اعمال روی مجموعه ها مانند اعمال اعداد حسابی است. 

۱. تساوی مجموعه ها : اگر A و B دو مجموعه باشند، A و B را مساوی گوییم هرگاه عناصر یکسان داشته باشند و با نماد « A = B » نشان می دهیم. به عبارت دیگر« A و B مساوی اند اگر و تنها اگر هر عضو A در B  و هر عضو B در A باشد »، یعنی

    ( ۱ )

این عمل شبیه عمل تساوی دوعدد است.

 ۲.  زیر مجموعه : « مجموعه A را زیر مجموعه B گوییم اگر و تنها اگر هر عضو A ، عضوی از B باشد. A  زیر مجموعه B را با نماد «نشان می دهیم و«  A  زیر مجموعه B خوانده می شود. با استفاده از سورها به صورت زیر نشان داده می شود:

      ( ۲ )

 اگر ، گوییم « A  زیر مجموعه B » یا « B ابر مجموعه A » است. این عمل شبیه عمل « » در اعداد حسابی است. اگر و ، آنگاه گوییم « A  زیر مجموعه ی سره B » یا « B ابر مجموعه ی سره A » است و می نویسیم « ». که در این صورت شبیه عمل « > » خواهد بود.

 ۳. اجتماع دو مجموعه : اگر A و B دو مجموعه دلخواه باشند، اجتماع  A و B ، « مجموعه ایست که شامل تمام عناصر مجموعه های  A و B می باشد. اجتماع  A و B را به صورت « » نشان می دهند و به صورت زیر تعریف می شود :

=     ( ۳ )

 تساوی ( ۳ ) این گونه خوانده می شود :« A اجتماع B برابر است با مجموعه ی تمام x هایی که x عضوی از A یا عضوی از B است ». نماد « ; » در این گونه موارد معنی « به طوری که » می دهد. همچنین نماد « | » در داخل نماد مجموعه ساز به همین معنی به کار می رود. 

عمل اجتماع مجموعه ها شبیه عمل « + » در اعداد حسابی است.

۴. اشتراک دو مجموعه  : اشتراک دو مجموعه ی A و B ، « مجموعه ایست شامل تمام عناصری  که هم عضو A و هم عضو B باشند ».  A اشتراک B را با نماد « » نشان می دهند. پس :

=      ( ۴ )

عمل اشتراک مجموعه ها شبیه عمل ضرب « × » در اعداد حسابی است.

  - ۲ -

---

صفحه قبلی :  « ۱ »

۲.۱ مجموعه ها

فصل دوم « مجموعه ها »

چشم اندازی به آنچه در این فصل خواهیم گفت :

ابتدا به بیان مفهوم مجموعه می پردازیم و سپس روابط حاکم بر مجموعه ها و پس از آن چند قضیه در مجموعه ها را بیان و اثبات می کنیم . پس از مجموعه ها ، به مفهوم خانواده و خانواده مجموه های اندیس دار خواهیم پرداخت که این قسمت نیز با تعاریف و قضایای مربوطه همراه خواهد شد. سرانجام به بیان پارادکس راسل می پردازیم.

« مجموعه ها Sets »

تعریف ها : تعریف مجموعه ، شاید در ابتدا ساده و ابتدایی به نظر برسد، اما از مهمترین و اساسی ترین مفاهیم در ریاضیات جدید است.

نخستین تعریف علمی مجموعه، در پایان قرن ۱۹ میلادی ، سال ۱۸۹۵ توسط «‌ گئورگ کانتور Georg Cantor  » بیان شده است. ما نیز از تعرف کانتور استفاده می کنیم. کانتور یک مجموعه را به صورت زیر تعریف می کند :

 یک مجموعه ، گردایه ای از اشیاء متمایز در فکر یا شعور ماست که به عنوان یک کل در نظر گرفته می شود.

هر یک از اشیاء متمایز در مجموعه را ، یک عضو یا یک عنصر از مجموعه گوییم. در ریاضیات، مجموعه ها را با ثبت عناصرشان بین دو ابرو , بیشتر با حروف بزرگ لاتین مانند A و ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌B و ... و عناصر مجموعه را با حروف کوچک لاتین مانند a و b و ... نشان می دهند. عناصر مجموعه ی A دلخواه است  و می تواند اعداد، حروف، اشیاء، حیوانات و... را در برگیرد ، اما بحث ما در ریاضیات به مجموعه اعداد کشیده می شود.

 اگر عنصر x ، عضوی از مجموعه داده شده ی A باشد، گوییم « x عضوی از مجموعه ی A است » یا « x متعلق به مجموعه ی A است. » و با نماد « » نشان می دهیم. پس نماد « » به معنای « متعلق بودن به » بکار می رود.

اگر عنصر x ، در مجموعه ی داده شده ی A نباشد، گوییم « x عضوی از مجموعه ی A نیست » یا « x متعلق به مجموعه ی A نیست. » و با نماد « » نشان می دهیم و نماد « » برای « عضو نبودن » بکار برده می شود.

مهمترین مجموعه هایی که ما در این درس با آنها سر وکار داریم به قرار زیر است:

۱. مجموعه تهی« impety set » ‌: مجموعه ای را که هیچ عضوی نداشته باشد، مجموعه تهی گویند. این مجموعه را با نماد یا  ‍‍‌‍‍{} نشان می دهیم.

۲.  مجموعه اعداد طبیعی « set of natural number » :در ریاضیات، مجموعه اعداد طبیعی را با IN نشان می دهند و به قرار زیر است:

۳. مجموعه اعداد حسابی : این مجموعه را  با W نشان می دهند :

۴.  مجموعه اعداد صحیح : این مجموعه را  با Z  نشان می دهند :

۵. مجموعه اعداد صحیح زوج :این مجموعه را  با E نشان می دهند :

۶. مجموعه اعداد صحیح فرد : این مجموعه را  با O نشان می دهند :

۷. مجموعه اعداد گویا : این مجموعه را  با Q نشان می دهند :

۸. مجموعه اعداد حقیقی : این مجموعه را  با IR نشان می دهند، که شامل تمام اعدا اصم و گویا می باشد. عددی را که نتوان به صورت یک عدد گویا نوشت ، یک عدد گنگ یا اصم گویند مانند  و p .

  - ۱ -