دسته‌بندی مبانی ریاضیات فصل۳، رابطه و تابع

۳. قضیه ۱-۳

قضیه ۱-۳ : اگر A وB و C ، سه مجموعه باشند ، آنگاه روابط زیر برقرارند:

الف: =

ب: =

پ: =

ت: =

ث: =

ج: =

اثبات : قسمت ج را اثبات می کنیم. اثبات دیگر موارد نیز با همین روش به آسانی بدست می آید.

تعریف حاصلضرب دکارتی

تعریف تفاضل

خود توانی

جابجایی

تعریف حاصلضرب دکارتی

تعریف تفاضل

- ۳ -

صفحه ی قبلی : « ۲ » ، « ۱ »

فصل های قبلی مبانی ریاضیات

مبانی ریاضات،فصل اول،منطق گزاره

مبانی ریاضات،فصل دوم،مجموعه ها

حسن ایزدی مهر دوشنبه 8 آبان‌ماه سال 1385 ساعت 10:07 ق.ظ

0 نظر

۲. مثال ۳و۴و۵ تعمیم حاصلضرب دکارتی مثال ۶و۷

مثال ۳-۳ : فرض کنیم در این صورت

=

مثال ۴-۳ :

=

مجموعه ی را نمی توان به صورت حاصلضرب دکارتی دو مجموعه A و B نوشت. از آنجا که ۱ اولین مولفه عنصری از A و ۲ دومین مولفه ی یک جفت مرتب B است، پس بایستی (۱،۲) عضوی ازD باشد. اما چون (۱،۲) عضوی ازD نیست، پس D .

مثال ۵-۳ : حاصلضرب دکارتیدستگاه مختصات اعداد است. فرض کنیم =I و =J آنگاه ، زیر مجموعه ای از است که شامل مستطیلی با راس های (۰،۰) و (۰،۲) و (۱،۰) و (۱،۲) و نقاط داخلی آن می باشد. مجموعه ی =C زیر مجموعه ای ازاست، اما نمی توان آن را به صورت حاصلضربنوشت. زیرا (۱،۰) و (۰،۱) در C هستند ولی (۱،۱) در C نیست.

گسترش و تعمیم ضرب دکارتی

حاصلضرب دکارتی مجموعه ها را می توانیم به بیش از یک مجموعه نیز گسترش دهیم. اگر A₁,A₂,...,A_n مجموعه باشند، حاصلضرب دکارتی آن ها را با نماد نمایش می دهیم و مجموعه ی تمام n-تایی های مرتب ِ است به طوری که به ازای هر باشد.

مثال ۶-۳ : اگر و و =C باشد، داریم :

=

مثال ۷-۳ : حاصلضرب دکارتی ِ مجموعه ی تمام سه تایی های مرتب ِ اعداد حقیقی است . این مجموعه به فضای سه بعدی مشهور است.

- ۲ -

صفحه ی قبلی : « ۱ »

فصل های قبلی مبانی ریاضیات

مبانی ریاضات،فصل اول،منطق گزاره

مبانی ریاضات،فصل دوم،مجموعه ها

حسن ایزدی مهر دوشنبه 1 آبان‌ماه سال 1385 ساعت 09:56 ق.ظ

0 نظر

۱.جفت مرتب،حاصلضرب دکارتی، مثال ۱و۲ ،‌‌ نکته۱

مبانی ریاضیات

فصل سوم رابطه و تابع

چشم انداز

سومین فصلی که معمولاْ در مبانی ریاضات عنوان می شود، رابطه و تابع است. رابطه و تابع روی مجموعه ها تعریف می شوند.پس بجاست که بعد از فصل مجموعه ها ، ارائه شوند. برای آشنایی با رابطه ها و تابع ها، ابتدا زوج مرتب را خواهیم شناخت و پس از آن حاصلضرب دکارتی مجموعه ها را بیان می کنیم.سپس به مفهوم رابطه خواهیم پرداخت و رابطه های مهم مانند رابطه ی هم ارزی و تابع که حالت خاصی از رابطه است، گفته می شود.

حاصلضرب دکارتی مجموعه ها

تعریف ۱جفت مرتب : هر دوتایی مرتب ِ که ترتیب قرار گرفتن a و b در آن مهم باشد را یک جفت مرتب گویند.

تعریف۲ جفت مرتب : جفت مرتب به صورت نیز تعریف می شود. یعنی=.

اگر = z یک جفت مرتب باشد، a و b را به ترتیب مولفه اول و مولفه ی دوم z گویند و با نماد a=pr₁z و b=pr₂z نمایش می دهند.

تساوی دو جفت مرتب : دو جفت مرتبو را مساوی گویند اگر و تنها اگر و .

تعریف حاصلضرب دکارتی دو مجموعه : اگر A و B دو مجوعه ی دلخواه باشند، حاصلضرب دکارتی A و B را با نماد نمایش می دهند و مجموعه ی تمام جفت های مرتب ِ است که و باشد. یعنی = .

مثال ۱-۳: اگر و، آنگاه

=

نکته ۱-۳ : مثال ۱-۳ نشان می دهد که . در حالت خاصی که A=B باشد می توان نتیجه گرفت که = . اما عکس مطلب برقرار نیست، یعنی از تساوی = نمی توان نتیجه گرفت که A=B . زیرا اگر و =B باشد، آنگاه