ستارگان ریاضی ۸۳

10 . مثال ۱و۲ و تعریف اجتماع خانواده ی مجموعه ها

مثال ۱ : برای هر عدد طبیعی n فرض کنیم . در این صورت به ازای هر مقدار طبیعی n ، یک مجموعه ی متفاوت داریم. مثلاْ وقتی n=1 ، و وقتی n=2 ، . پس یک خانواده نامتناهی از مجموعه ها تعریف کردیم که با اعداد طبیعی اندیس گذاری شده است. این خانواده را با نماد نمایش می دهیم.

مثال ۲ : به ازای هر عدد حقیقی مثبت r ، مجموعه ی A_r را به صورت تعریف می کیم. پس . این خانواده به صورت تعریف می شود.

تعریف اجتماع خانواده ای از مجموعه ها :

اگر G خانواده ای از مجموعه ها باشد، به اجتماع تمام مجموعه های این خانواده، اصطلاحاً اجتماع خانواده ی مجموعه ها گویند. به صورت واضح تر ؛ اجتماع خانواده ی G ، مجموعه ایست شامل تمام xهایی که x عضو یکی از مجموعه های ِ خانواده باشد . یعنی

= =

اگر G خانواده ای از مجموعه های اندیس گذاری شده ی A_i باشد، که با مجموعه ی I اندیس گذاری شده است، آنگاه اجتماع G عبارتست از :

== =

در صورتی که عبارت بالا به صورت زیر در می آید:

== =

- 10 -

صفحه قبلی : « 9 » ، « ۸ » ، « ۷ » ، « ۶ » ، « ۵ » ، « ۴ » ، « ۳ » ، « ۲ » ، « ۱ »

حسن ایزدی مهر یکشنبه 16 مهر‌ماه سال 1385 ساعت 05:09 ب.ظ

0 نظر

۹. خانواده مجموعه های اندیس دار

خانواده مجموعه های اندیس دار

خانواده ها در ریاضیات ، شکل کلی تر مجموعه ها هستند. در تعریف مجموعه آوردیم که دسته ای از اشیاء متمایز هستند. اگر شرط مجزا بودن عناصر مجموعه را حذف کنیم ، خانواده حاصل می شود. پس به صورت نه چندان دقیق ، خانواده دسته ای از اشیاء است که ممکن است متمایز نباشند. به دیگر زبان ، در خانواده ، عضو تکراری وجود دارد ولی در مجموعه تکرار عضو جایی ندارد. بنابراین { a,a,a } یک خانواده سه عضوی و یک مجموعه ی تک عضوی است.

همان طور که اعضای یک مجموعه خود می توانند یک مجموعه باشند، اعضای یک خانواده نیز می توانند مجموعه باشند. به خانواده ای که عناصر آن مجموعه باشد ، خانواده ای از مجموعه ها ( یا خانواده ی مجموعه ها ) گویند. مانند ِ { {a} , {a,b} , {1} , {b,a} } .

اگر A یک خانواده از مجموعه ها مانند باشد ، می توانیم اعضای خانواده ی A را به صورت زیر شماره گذاری ( اندیس گذاری ) کنیم: و و .به این ترتیب خانواده ی A به صورت خواهد بود. اگر دقت شود اندیس ها خود نیز مجموعه ی را تشکیل می دهند. با هر عضو از مجموعه ی I ، یک مجموعه از خانواده ی A نظیر شده است. به مجموعه هایی مانند I که برای اندیس گذاری بکار می روند ، مجموعه ی اندیس ها یا اندیس گذار نامیده می شود. اگر خانواده ی A ، با مجموعه ی I اندیس گذاری شده باشد، به آن خانواده ی مجموعه های اندیس دار گوییم.

- ۹ -

صفحه قبلی : « ۸ » ، « ۷ » ، « ۶ » ، « ۵ » ، « ۴ » ، « ۳ » ، « ۲ » ، « ۱ »

حسن ایزدی مهر شنبه 15 مهر‌ماه سال 1385 ساعت 11:54 ق.ظ

1 نظر

مسابقه شماره ۱

مسابقه ریاضیدانان جوان

سال ۸۵-۸۶

شماره ۱

۱ . ۵۰ پاره خط به شکلی دلخواه روی خط مستقیمی در نظر گرفته شده اند. ثابت کنید در این میان یا ۸ پاره خط دو به دو مجزا و یا ۸ پاره خط با نقطه ی مشترک یافت می شوند.

۲ - سه مدرسه داریم و در هر مدرسه دقیقاً n دانش آموز حضور دارد و هر دانش آموز دقیقاً n-1 دوست در دو مدرسه ی دیگر دارد. ثابت کنید می توان از هر مدرسه دانش آموزی انتخاب کرد به طوری که سه دانش آموز منتخب، با هم دوست باشند.

۳ - فرض کنید k عدد صحیح مثبتی باشد و n = ۲^k-1 . نشان دهید از هر ۲n-۱ عدد صحیح می توان n عدد را به گونه ای انتخاب کرد که مجموع آن ها بر n بخش پذیر باشد.

مهلت ارسال پاسخ ها تا پایان روز چهار شنبه ۱۹ مهر ماه ۱۳۸۵

توضیح :

مسابقه ریاضیدانان جوان با آغاز سال تحصیلی، در دانشکده ریاضی دانشگاه فردوسی مشهد، بر پا می شود. در هر شماره تعداد ۳ سوال مطرح می شود که دانشجویان کارشناسی به مدت ۲ هفته فرصت دارند که پاسخ های خود را به گروه ریاضی دانشکده ارائه دهند. اما با هماهنگی های به عمل آمده، دانشجویان کارشناسی سایر مراکز نیز میتوانند پاسخ های خود را به صورت نسخه های pdf به آدرس izadimehr.hasan@yahoo.com ارسال نمایند. در پایان هر دوره نام افرادی که به هر تعداد از سوال ها پاسخ درست داده باشند اعلام می شود.

حسن ایزدی مهر چهارشنبه 12 مهر‌ماه سال 1385 ساعت 03:46 ب.ظ

1 نظر

اثبات قسمت دوم نکته ۳ - قضیه ۶ و۷

اثبات قسمت دوم نکته ۳ :

قسمت الف نکته ۳

تعریف -

تعریف متمم

قانون دمورگان

تعریف اشتراک

پخش پذیری

=همچنین برای B

تعریف اجتماع

تعریف اشتراک

تعریف متمم

تعریف متمم نسبی

تعریف اجتماع

قضیه ۶ : اگر U مجموعه جهانی مفروض باشد، و A و B و C زیر مجموعه هایی از آن باشند،

الف :

ب : =

پ : =

ت : =

ث : U=

برهان : ب:

نکته ۳ قسمت ب

جابجایی اجتماع

نکته ۳ قسمت ب

پ :

تعریف تفاضل متقارن

شرکت پذیری یای مانع جمع

تعریف تفاضل متقارن

ت‌:

نکته ۳ قسمت ب

تعریف -

تعریف اجتماع

ث :

نکته ۳ قسمت ب

=

U قضیه ۵ قسمت ۶

قضیه ۷ : اگر مجموعه ی A دارای n عضو باشد، دارای 2ⁿ عضو است.

برهان : اگر A تهی باشد، تنها یک زیر مجموعه خواهد داشت! ( خود تهی ) . اما اگر A دارای n عضو باشد، می تواند زیر مجموعه های ۱ عضوی، ۲ عضوی ، ... و n عضوی داشته باشد. زیر مجموعه های یک عضوی ِ A ، از میان n عضو انتخاب می شوند یعنی انتخاب یک شئ از n شئ . همچنین تعداد زیر مجموعه های ۲ عضوی منجر به انتخاب ۲ تا از n تاست و تعداد زیر مجموعه های r عضوی به انتخاب r تا از n تا منجر می شود . بنابر این تعداد کل زیر مجموعه های A که همان تعداد اعضای است، برابر است با حاصلجمع آن ها یعنی