ستارگان ریاضی ۸۳

۶. قضیه های مجموعه ها- قضیه ۱و۲و۳

قضیه ها ی مجموعه ها

قضیه ۱‌: تهی زیر مجموعه ی تمام مجموعه هاست.

برهان : اگرA یک مجموعه ی دلخواه باشد، بایستی ثابت کنیم ، یعنی نشان می دهیم که گزاره ی شرطی ;یک راستگو است. اما طبق تعریف محموعه ی تهی، این مجموعه هیچ عضوی ندارد، پس نادرست است. بنابراین ، گزاره ی شرطی ِ حکم ، به انتفای مقدم ، یک گزاره ی راستگو است . پس حکم برقرار است.

قضیه ۲ : اگر A و B و C مجموعه هایی باشند که و ، آنگاه .

برهان : فرض کنیم و . یعنی ; و ; . بنابراین طبق قانون تعدی از فصل اول مبانی ریاضیات داریم : ; که این یعنی .

قضیه ۳ : ( قوانین اشتراک و اجتماع مجموعه ها ) ؛ اگر A و B و C مجموعه های دلخواه باشند، آنگاه

الف : قانون های خود توانی

۱.   A  =

۲.   A  =

ب : قانون های جابجایی

۱.

۲.

ج : قانون های شرکت پذیری

۱.

۲.

د: قانون های پخش پذیری

۱.

۲.

برهان : قسمت های الف و ب با استفاده از تعریف ها به راحتی اثبات می شود . از قسمت های ج و د ، یک نمونه را اثبات می کنیم.

ج : ۱. برای اینکه نشان دهیم ، نشان می دهیم به ازای هر x ، x عضوی از طرف راست تساوی است اگر و تنها اگر x عضوی از طرف چپ تساوی باشد. بنابراین :

که در گام های اول ، دوم ، چهارم و آخرین هم ارزی بالا، از تعریف اشتراک مجموعه ها و در گام سوم از شرکت پذیری ترکیب فصلی ( فصل اول مبانی ریاضیات) استفاده شده است. هم ارزی بالا ما را به نتیجه ی مطلوب ِ می رساند.

د ۲ :

تعریف اجتماع

تعریف اشتراک

پخش پذیری v

تعریف اجتماع

تعریف اشتراک

با توجه به هم ارزی های بالا و تعریف تساوی مجموعه ها، به نتیجه ی مطلوب رسیدیم.

- ۶ -

صفحه قبلی : « ۵ » ، « ۴ » ، « ۳ » ، « ۲ » ، « ۱ »

حسن ایزدی مهر چهارشنبه 5 مهر‌ماه سال 1385 ساعت 03:38 ب.ظ

0 نظر

۵. تصریح مجموعه ها و مجموعه ی توانی

تصریح مجموعه ها :

اگر A و B دو مجموعه باشند، با استفاده از۶ عمل معرفی شده در اعمال مجموعه ها، می توان به مجموعه هایی جدید دست یافت. یک روش دیگر برای ساختن مجموعه ای جدید از مجموعه ی مفروض A، مشخص کردن عناصری از مجموعه ی A است که در یک ویژگی صدق می کنند. یعنی اگرA یک مجموعه باشد، با مشخص کردن گزاره ای مانند ، می توان مجموعه ی A را به دو مجموعه ی مجزا تقسیم کرد:

۱. مجموعه ای شامل آن عنصرها از A که به ازای آنها گزاره ای درست باشد.

۲. مجموعه ای شامل آن عنصرها از A که به ازای آنها گزاره ای نادرست باشد.

در ریاضیات و در نظریه ی مجموعه ها، همواره حالت ۱ مورد توجه است. یعنی اگر A یک مجموعه و گزاره ای روی A باشد، همواره مجموعه ی آن عنصرها از A که به ازای آنها گزاره ای درست باشد،‌ مورد توجه است. این مجموعه را به صورت نشان می دهند. به این نماد ، نماد مجموعه ساز می گویند.

این موضوع در اصول موضوعه ی مجموعه ها به اصل موضوع تصریح شهرت دارد.

در صورتی که حالت دوم مورد نظر باشد، این گونه بیان می شود : مجموعه ی آن عنصرها از A که به ازای آنها ~ گزاره ای درست باشد. نماد مجموعه ساز آن به صورت می باشد.

مجموعه ی توانی :

یک روش دیگر ساختن یک مجموعه ی جدید از مجموعه دلخواه A ، استفاده از مجموعه ی توانی است. اگرA یک مجموعه ی دلخواه باشد، می توانیم مجموعه ای بسازیم که عنصر های آن شامل زیر مجموعه های A باشد.

در اصول موضوعه ی مجموعه ها ، متناظر با هر مجموعه ی A، مجموعه ای شامل تمام زیر مجموعه های A، وجود دارد که به آن مجموعه ی توانی A گویند.

مجموعه ی توانی A را با نماد نشان می دهند و به صورت زیر تعریف می شود :

=.

- ۵ -

صفحه قبلی : « ۴ » ، « ۳ » ، « ۲ » ، « ۱ »

حسن ایزدی مهر دوشنبه 3 مهر‌ماه سال 1385 ساعت 05:14 ب.ظ

0 نظر

۴.اثبات قسمت الف نکته ۳ و نمودارهای ون

اثبات نکته۳ : اکنون بایستی ثابت کنیم این سه تعریف معادل اند. برای این منظور نشان کی دهیم هر عضو از گزاره ی تعریف، عضوی از گزاره ی نکته۳ است و برعکس. اثبات قسمت « الف » به صورت زیر است اما قسمت « ب » نیاز مند مقدمات جدیدی است و پس از بیان مقدمات، آورده می شود

تعریف و توضیح

تعریف اجتماع

تعریف متمم

نمودار های ون :

اگر مجموعه مرجع ( مجموعه ی مفروض جهانی ) را با یک مستطیل و زیر مجموعه های آن را با دایره هایی درون آن نشان دهیم ، به شکل ها یا نمودار هایی می رسیم که به نمودار های ون معروف هستند. این نمودارها در درک بهتر اعمال مجموعه ها به ما کمک می کنند. از این نمودار ها نمی توان به عنوان اثبات قضیه ها بهره برد و استدلال با نمودار ون در ریاضیات جایی ندارد. از نمودار های ون می توان به عنوان مثال شهودی استفاده کرد.

نمودار های ون مربوط به اعمال مجموعه ها را در زیر مشاهده می کنید. قسمت های مورد نظر با آبی رنگ آمیزی شده اند.

۱.