۳ ترکیب عطفی گزاره ها

۲-۱. ترکیب عطفی گزاره ها ‹‹ Conjunction of propositions ›› : اگر p و q دو گزاره باشند، ترکیب عطفی آن ها، یعنی p q  یک گزاره ی مرکب است. نماد ‹‹ ›› در فارسی به معنی ‹‹ و ›› بکار می رود. مثلا ً اگر p  گزاره ی ‹‹ چراغ روشن است ›› و q  گزاره ی ‹‹ 2 عددی فرد است ›› باشد ، ترکیب عطفی  p q  به صورت ‹‹ چراغ روشن است  و 2 عددی فرد است  ›› می باشد. در هر ترکیب عطفی ِ p q ، به هر یک از  p و q یک مؤلفه گفته می شود.مؤلفه های p  و q خود می توانند یک گزاره ی ساده یا مرکب باشند. در گزاره ی مرکب p q، که مولفه هایش گزاره هایی ساده اند ، 4 حالت زیر وجود دارد :

الف:  p درست  و q درست

ب‌ : p درست و q نادرست

ج :‌ p نادرست  و q درست

د :  p نادرست و q نادرست

این حالت های ممکن را حالت های منطقی یا امکان های منطقی گویند. جدول ارزشی یک ترکیب عطفی از دو گزاره ی ساده ی p و q  به صورت زیر است :

p q	q	p
T F F F	T F T F	T T F F

جدول ۲

 از جئول ۲ پیداست که :  ترکیب عطفی  گزاره ها  هنگامی درست است که  ثمام مؤلفه ها درست باشند. در دیگر حالت ها نادرست است. این بیان در گفتگو های روزانه نیز صادق است. مثال ‹‹ چراغ روشن است  و 2 عددی فرد است  ›› تنها در صورتی درست است  که هریک از گزاره های ‹‹ چراغ روشن است ›› و‹‹ 2 عددی فرد است ›› درست باشند.

۳

---

 صفحه های قبل :  ( 2 ) ،  ( ۱ )

۲. گزاره های مرکب

در ریاضیات گزاره های ساده را معمولا ً با حروف کوچک الفبای انگلیسی و با شروع از p  نشان می دهند . مثل p و q و r و ...گزاره های مرکب را هم معمولا ً با حروف بزرگ P و Q و R و ... نشان می دهند. گزاره های مرکب با نمادهای خاصی از گزاره های ساده ی p و q و r و ... ساخته می شوند که مهمترین و مشهورترین آنها را شرح می دهیم ....

۱. نفی - نقیض ‹ Negation ›، ‹ ~ ›  : اگر p یک گزاره باشد ، نقیض p یا نفی p  به صورت زیر تعریف می شود:

اگر p دارای ارزش درست باشد، نقیض p ارزش نادرست دارد و

اگر p دارای ارزش نادرست باشد، نقیض p ارزش درست دارد .

نقیض p را معمولا ً با نماد ‹ p~ › نشان می دهند . اگر نماد ‹ ~ › قبل از گزاره ای بیاید، ارزش آن گزاره  را عوض می کند . جدول زیر که به جدول ارزش معروف است این بیان را روشن تر می سازد.

p~	p
F T	T F

جدول ۱

 که T و F به ترتیب به جای ‹‹ درست True ›› و ‹‹ نادرست False ›› بکار برده می شوند.

در جدول ارزش ، گزاره ها در سطر اول جای می گیرند. در هر ستون ، تمام حالت های ممکن برای گزاره ی مربوطه ثبت می شوند. مثلاً در جدول ۱ ، در ستون اول که مربوط به گزاره ی p است، ۲ حالت T و F  قرار می گیرند؛ چون هر گزاره ی ساده، یا درست است یا نادرست.   p~ یک گزاره ی ساده است که از روی p ساخته می شود ( ازرش آن به ارزش P بستگی دارد ) . در هر سطر متناظر با ارزش p ، ارزش p~ نیز آمده است.

نمونه وار اگر P گزاره ی ‹‹ چراغ روشن است ›› باشد،  p~ گزاره ی ‹‹ چراغ روشن نیست ›› یا ‹‹ چنین نیست که چراغ روشن است ››  می باشد.

۲

---

صفحه های قبل :‌ ۱

۱. گزاره ‹‹ ‌Proposition ››

گزاره « ‌Proposition »

 اولین مفهومی که در منطق دو ارزشی با آن برخورد می کنیم، « گزاره » است. برای ما «  گزاره » جمله ای خبریست که یا درست باشد یا نادرست. یک «  گزاره » در آن واحد هیچ گاه نمی تواند هم درست باشد ، هم نادرست. ممکن است تعیین درستی یا نادرستی یک  گزاره  برای ما مقدور نباشد. لازم نیست بدانیم یک گزاره ، درست است یا نادرست، بلکه کافی است مطمئن شویم دارای یکی از این دو ارزش است.

با مثال های زیر این مفهوم را بهتر درک خواهیم کرد :

الف :‌ ۲ عددی فرد است.

ب : ۲+۱برابر ۳ است.

ج :‌ امروز دوشنبه است .

د : تمامی اعداد اول فردند.

ه :‌ صد و پنحمین رقم اعشاری p ، ۷ است.

و : درخت کاج ، ۶۰ سال عمر می کند.

 تمامی جمله های بالا  گزاره اند، چون خبری را اعلام میکنند که درست یا نادرست است. گزاره های  « الف  » و«  د »  نادرست و گزاره ی « ب » درست هستند . گزاره ی  « ج » به روزی که گزاره بیان می شود بستگی دارد . ارزش گزاره های « ه » و « و » فعلا ً بر ما روشن نیست و پس از تحقیق روشن خواهد شد.

عبارت های زیر گزاره نیستند :

الف :  دست شما درد نکند.

ب   : حال شما چه طور است؟

ج   :  به امید  دیدار!

د    :  وقت به خیر ....

گزاره ها  به دو گروه « ساده »  و « مرکب »  تقسیم می شوند. گزاره های ساده ، تنها یک خبر را اعلام می کنند . مانند گزاره های پیشین.گزاره ای که درباره ی  بیش از یک خبر  اعلام عقیده کند ، گزاره ای مرکب خواهد بود. یک گزاره مرکب ، ترکیبی از چند گزاره ی ساده خواهد بود.

نمونه وار گزاره ی «   امروز دوشنبه و 2 عددی فرد است »  ، گزاره ای مرکب است.

برای یک گزاره ساده دو حالت ارزشی  « درست »  و « نادرست »  امکان پذیر است. به این حالت ها ، حالت های منطقی یا امکان های منطقی گویند.  گزاره های مرکب بر حسب اینکه از چند گزاره ی ساده تشکیل شده باشند حالت های منطقی متفاوتی دارند. مثلا ً یک  گزاره  مرکب که  از دو گزاره ی ساده  تشکیل شده باشد ، دارای 4 حالت منطقی خواهد بود. در آینده در موردحالت های منطقی  بیشتر صحبت خواهیم کرد.

۱

---

صفحه های بعدی : ۲