ستارگان ریاضی ۸۳
هدف ما ایجاد یک منبع سرشار ریاضی است، ادامه فعالیت های ما در سایت ریاضیات ایران با آدرس www.irmath.com پیگیری می شود منتظرتان هستیمستارگان ریاضی ۸۳
هدف ما ایجاد یک منبع سرشار ریاضی است، ادامه فعالیت های ما در سایت ریاضیات ایران با آدرس www.irmath.com پیگیری می شود منتظرتان هستیم۱۱. قضیه ها
قضبه ها « Theorems » :
ابتدا چند قضیه ساده اما مهم را بیان می کنیم. سپس به قضایای مهمتر می پردازیم:
قضیه ۱ : قانون های دمورگان « Augustus De Morgan » : اگر p و q دو گزاره باشند ، آنگاه
الف:
ب :
برهان : با توجه به جدول ارزشی زیر حکم ها برقرارند :
q~
p~
( q
p )
~
F
T
F
T
F
F
F
T
F
F
T
T
T
T
T
T
T
F
T
F
T
T
T
F
T
T
F
F
F
F
F
T
جدول ۱۷
قضیه ۲ : اگر p و q دو گزاره باشند ، آنگاه قانون های زیر برقرارند:
۱. قانون نفی مضاعف « Double negation law » :
۲. قانون های جابجایی « Commutativity laws » :
و
۳. قانون های خود توانی « Idempotent laws » :
و
۴. قانون های جذب « Absorption laws » :
و
۵. قانون های جمع :
و
۶. قانون های اختصار « Simplification laws » :
و
۷. قانون رفع مولفه « Disjunctive syllogism law » :
۸. قانون عکس نقیض « Contrapositive Law » :
برهان : برهان قضیه های بالا به آسانی با رسم جدول ارزشی بدست می آید . نمونه وار جدول ارزشی قانون رفع مولفه و قانون عکس نقیض در زیر آمده است :
q
p~
( q
p )
T
F
T
F
T
T
T
T
F
F
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
T
T
F
T
T
F
F
جدول ۱۸
( p~
q~)
( q
p )
F
F
T
T
T
F
T
T
F
T
F
T
T
T
T
T
T
F
T
F
T
F
T
T
T
T
F
F
جدول ۱۹
نکته ۴ « قیاس استثنایی » : اگر در قانون رفع مولفه، به جای گزاره ی ( p 
q ) از گزاره ی هم ارز آن که قبلا ْ ثابت شد، استفاده کنیم به قیاس استثنایی 
می رسیم. شکل کلی قیاس استثنایی به صورت 
می باشد.
صفحه های قبل : « ۱۰ » ، « ۹ » ، « ۸ » ، « ۷ » ، « ۶ » ، « ۵ » ، « ۴ » ، « ۳ » ، « 2 » ، « ۱ »
۱۰. تعاریف
تعاریف
۱. تعریف راستگو tautology: گزاره ای که در تمام حالت های منطقی دارای ارزش درستی باشد، یک راستگو نامیده می شود.
۲. تعریف تناقض : گزاره ای که در تمام حالت های منطقی دارای ارزش نادرستی باشد، یک تناقض نامیده می شود.
۳. تعریف استلزام Impalication : اگر گزاره ی شرطی P Q یک راستگو باشد ، آن را یک استلزام گوییم و با نماد « 
» نشان می دهیم ، که « P مستلزم Q است » یا « Q از P لازم می آید » ، خوانده می شود.
۴. تعریف هم ارزی ( Equivqlent ) :
الف : دو گزاره ی p و q ( ساده یا مرکب ) را هم ارز گوییم اگر دارای تعداد حالات منطقی برابر باشند و حالت های منطقی ، نظیر به نظیر دارای ارزش یکسان باشند.
ب : اگر گزاره ی دوشرطی «
» ، یک راستگو باشد آنرا یک هم ارزی گوییم و با نماد های «
» نشان می دهیم که « P هم ارز Q است » خوانده می شود .
مثلا ْ دو گزاره ی
و
هم ارز منطقی اند. زیرا هرکدام دارای ۴ حالت منطقی اند و همچنین با توجه به جدول های زیر، حالت های منطقی ، نظیر به نظیر دارای ارزش یکسان می باشند.
q
p
T
F
T
T
T
F
T
F
T
T
F
F
جدول ۱۵
q
p~
T
F
T
T
T
F
T
F
F
F
T
T
جدول ۱۶
۵. تعریف قضیه « Theorem » : در ریاضیات به گزاره های راستگو ، قضیه گفته می شود . قضیه ها معمولا ْ گزاره های شرطی یا دو شرطی اند.
۶. تعریف برهان « Proof » : اثبات درستی قضیه را برهان ( برهان قضیه ) گویند.
صفحه های قبل : « ۹ » ، « ۸ » ، « ۷ » ، « ۶ » ، « ۵ » ، « ۴ » ، « ۳ » ، « 2 » ، « ۱ »
۹. رسم چند جدول ارزشی نمونه و چند نکته
جدول ارزشی گزاره های 
، 
، 
و 
را مشاهده می کنید.
|
|
|
|
|
q~ |
p~ |
q |
p |
|
T T F T |
F T T F |
T T T F |
T T T F |
F T F T |
F F T T |
T F T F |
T T F F |
جدول ۹
جدول ارزشی گزاره مرکب 
را مشاهده می کنید.
|
( r |
|
q ) |
|
( r |
|
p ) |
|
( q |
|
p ) |
|
T F T F T F T F |
T F T T T F T T |
T T F F T T F F |
T F T T T F T T |
T F T F T F T F |
T F T F T T T T |
T T T T F F F F |
T T T FT T T T |
T T F F T T F F |
T T F F T T T T |
T T T T F F F F |
جدول ۱۰
نکته ۲ : دو نماد عطفی و فصلی هیچ گاه بدون پرانتز پشت سر هم قرار نمی گیرند. یعنی گزاره ی 
بی معناست. زیرا اگر از پرانتزها کمک بگیریم به دو گزاره ی 
و 
می رسیم که اگر جدول ارزشی آنها را رسم کنیم می بینیم که ارزش های متفاوت دارند :
|
r |
|
( q |
|
p ) |
|
T F T F T F T F |
T F T F T F F F |
T T F F T T F F |
T T T T T T F F |
T T T T F F F F |
جدول ۱۱
|
( r |
|
q ) |
|
p |
|
T F T F T F T F |
T F F F T F F F |
T T F F T T F F |
T T T T T F F F |
T T T T F F F F |
جدول ۱۲
نکته ۳ : ترکیب 
بدون پرانتز نیز به دو صورت تعبیر می شود:
|
( r |
|
q ) |
|
p |
|
T F T F T F T F |
T F T T T F T T |
T T F F T T F F |
T F T T T T T T |
T T T T F F F F |
جدول ۱۳
|
r |
|
( q |
|
p ) |
|
T F T F T F T F |
T F T T T F T F |
T T F F T T F F |
T T F F T T T T |
T T T T F F F F |
جدول ۱۴
ما از به کار بردن مواردی که ابهام آمیز باشد پرهیز می کنیم و در این گونه موارد از پرانتز استفاده می کنیم.
صفحه های قبل : « ۸ » ، « ۷ » ، « ۶ » ، « ۵ » ، « ۴ » ، « ۳ » ، « 2 » ، « ۱ »
۸. رسم جدول ارزشی و ترتیب نماد ها
۱. رسم جدول ارزشی :
روش رسم یک جدول ارزشی را با رسم جدول ارزشی گزاره ی 
توضیح می دهیم . توجه کنید که این گزاره ، از دو گراره ی ساده p و q ساخته شده است. بنابراین دارای ۴ حالت منطقی است. پس ابتدا ارزش های p و q را مشخص می کنیم.
مرحله ۱ : تعیین ارزش های p~ و q~ با توجه به ارزش های p و q ،
مرحله ۲ : تعیین ارزش های
و
،
مرحله ۳ : تعیین ارزش
q~
p~
q
p
T
T
F
T
T
F
F
T
T
F
T
T
F
T
F
T
F
F
T
T
T
F
T
F
T
T
F
F
3
2
2
1
1
جدول ۸
در سطر آخرجدول شماره هر مرحله آمده است. دقت کنید که ارزش هر مرحله با توجه به مرحله قبل محاسبه می شود.
به خوانندگان توصیه می شود چند جدول ارزشی را خود رسم کنند تا بر موضوع تسلط یابند.
۲. ترتیب نمادها :
-
نقیض
-
پرانتز ها ( کمان ها )
-
نماد عطفی و فصلی و یای مانع جمع
-
نماد شرطی و دو شرطی
صفحه های قبل : « ۷ » ، « ۶ » ، « ۵ » ، « ۴ » ، « ۳ » ، « 2 » ، « ۱ »
۷. « یا » ی مانع جمع
۶. « یا » ی مانع جمع «
» :
اگر p و q دو گزاره ی ساده باشند ، جدول ارزشی p
p
q
p
F
T
T
F
T
F
T
F
T
T
F
F
جدول ۷
تعریف : گزاره ی p
نمونه وار اگر p گزاره ی « من زنده هستم » و q گزاره ی « من مرده هستم » باشد، p
صفحه های قبل : « ۶ » ، « ۵ » ، « ۴ » ، « ۳ » ، « 2 » ، « ۱ »