۶. ترکیب دو شرطی

۵. ترکیب دو شرطی-Biconditional «  » :

ترکیب دو شرطی P q ، به صورت « p اگر و تنها اگر  q » خوانده می شود و در واقع ترکیب عطفی دو گزاره ی  « P q » و « q p » است. جدول ارزشی آن به صورت زیر اشت :

P q	q	p
T F F T	T F T F	T T F F

جدول ۶ 

تعریف : ترکیب  P q هنگامی درست است که P و q هر دو درست یا هردو نادرست باشند، در غیر این صورت  P q نادرست است. 

 - ۶ -

---

صفحه های قبل :  « ۵ » ،  « ۴ » ،  « ۳ » ،  « 2 » ،   « ۱ »

۵. ترکیب شرطی

۴. ترکیب شرطی-conditional «  »  : 

ترکیب شرطی را با یک مثال توضیح می دهیم. اگر p گزاره ی « استاد نمی آید » و q گزاره ی « کلاس تشکیل نمی شود » باشد، گزاره ی p  q به صورت « اگر استاد نیاید آنگاه کلاس تشکیل نمی شود » خواهد بود. پس گزاره ی p  qبه مفهوم « اگر p آنگاه q » خواهد بود. در گزاره ی شرطی « p  q » ، به p مقدم و به q تالی گویند. همچنین p را شرط کافی برای q و q را شرط لازم برای p گویند

چنانچه از جدول ارزشی زیر پیداست ، گزاره ی شرطی « p  q »  تنها در صورتی نادرست است که مقدم درست و تالی نادرست باشد. در دیگر حالات گزاره ارزش درستی دارد.

p  q	q	p
T F T T	T F T F	T T F F

 جدول ۴

آیا می دانید انگیزه ی این تعریف چیست؟

 شما چه موقع احساس می کنید که گزاره ی  p  q  نفی شده است؟ بله ، این گزاره در صورتی نفی می شود که استاد نیاید ( p درست باشد ) ولی کلاس تشکیل شود( q نادرست باشد) و در هر حالت دیگر گزاره درست است. دقت کنید که در زبان عادی ( گفتگوی روزانه) گزاره شرطی p  q  به این مفهوم است که اگر p  درست باشد ، آنگاه  q درست است. و حالتی که p  نادرست باشد در زبان عادی بررسی نمی شود. اما در زبان صوری ، منطق دانان خواستار تعیین ارزش گزاره ی شرطی در تمام حالات هستند. اصطلاحا ً در حالت هایی که مقدم نادرست و تالی درست  باشد ، گوییم گزاره به انتفای مقدم درست است. آنچه در این تعریف آمده است، مورد توافق تمامی منطقیون است.

نکته ۱ : در بعضی کتاب ها گزاره ی شرطی   p  q را به صورت  تعریف می کنند ، زیرا جدول ارزشی آن ها یکسان است.

		q~	q	P
T F T T	F T F F	F T F T	T F T F	T T F F

 جدول ۵

 - ۵ -

---

 صفحه های قبل :   « ۴ » ،  « ۳ » ،  « 2 » ،   « ۱ »

4. ترکیب فصلی

۳. ترکیب فصلی « » : نماد « ‌»  که برای ترکیب فصلی به کار می رود، به جای « یا» ی شمول در گفتگوی روزانه به کار می رود . مثلا ْ اگر p گزاره ی  « من سیب میخرم »  و q گزاره ی « من گلابی میخرم »  باشد ، ترکیب فصلی « p q » ، به صورت  « من سیب یا گلابی میخرم  »  می باشد. یعنی من سیب یا گلابی یا هر دو را میخرم. در مقابل « یا» ی شمول ، « یا» ی مانع جمع قرار می گیرد.

« یا» ی شمول می گوید : این یا آن یا هردو ؛ در حالی که « یا» ی مانع جمع می گوید : یا این یا آن ولی نه هردو. برای « یا» ی مانع جمع نماد خاصی وجود دارد که در جای خود گفته خواهد شد.

جدول ارزشی ترکیب فصلی به قرار زیر است:

p q	q	p
T T T F	T F T F	T T F F

جدول ۳

ترکیب فصلی دو گزاره ی ساده p‌ و q ، هنگامی درست است که یکی از  گزاره ی ساده p‌ یا q درست باشد. این ترکیب تنها در صورتی نادرست است که هر دو گزاره ی p‌ و q  نادرست باشند.

در مثال بالا اگر من سیب یا گلابی یا هم سیب و هم گلابی بخرم، به حرفی که زده ام عمل کرده ام ، اما اگر دست خالی باشم و نه سیب و نه گلابی بخرم، به گفته خود ارزش نادرستی داده ام.

- ۴ -

---

 صفحه های قبل :   « ۳ » ،  « 2 » ،   « ۱ »

۳ ترکیب عطفی گزاره ها

۲-۱. ترکیب عطفی گزاره ها ‹‹ Conjunction of propositions ›› : اگر p و q دو گزاره باشند، ترکیب عطفی آن ها، یعنی p q  یک گزاره ی مرکب است. نماد ‹‹ ›› در فارسی به معنی ‹‹ و ›› بکار می رود. مثلا ً اگر p  گزاره ی ‹‹ چراغ روشن است ›› و q  گزاره ی ‹‹ 2 عددی فرد است ›› باشد ، ترکیب عطفی  p q  به صورت ‹‹ چراغ روشن است  و 2 عددی فرد است  ›› می باشد. در هر ترکیب عطفی ِ p q ، به هر یک از  p و q یک مؤلفه گفته می شود.مؤلفه های p  و q خود می توانند یک گزاره ی ساده یا مرکب باشند. در گزاره ی مرکب p q، که مولفه هایش گزاره هایی ساده اند ، 4 حالت زیر وجود دارد :

الف:  p درست  و q درست

ب‌ : p درست و q نادرست

ج :‌ p نادرست  و q درست

د :  p نادرست و q نادرست

این حالت های ممکن را حالت های منطقی یا امکان های منطقی گویند. جدول ارزشی یک ترکیب عطفی از دو گزاره ی ساده ی p و q  به صورت زیر است :

p q	q	p
T F F F	T F T F	T T F F

جدول ۲

 از جئول ۲ پیداست که :  ترکیب عطفی  گزاره ها  هنگامی درست است که  ثمام مؤلفه ها درست باشند. در دیگر حالت ها نادرست است. این بیان در گفتگو های روزانه نیز صادق است. مثال ‹‹ چراغ روشن است  و 2 عددی فرد است  ›› تنها در صورتی درست است  که هریک از گزاره های ‹‹ چراغ روشن است ›› و‹‹ 2 عددی فرد است ›› درست باشند.

۳

---

 صفحه های قبل :  ( 2 ) ،  ( ۱ )

۲. گزاره های مرکب

در ریاضیات گزاره های ساده را معمولا ً با حروف کوچک الفبای انگلیسی و با شروع از p  نشان می دهند . مثل p و q و r و ...گزاره های مرکب را هم معمولا ً با حروف بزرگ P و Q و R و ... نشان می دهند. گزاره های مرکب با نمادهای خاصی از گزاره های ساده ی p و q و r و ... ساخته می شوند که مهمترین و مشهورترین آنها را شرح می دهیم ....

۱. نفی - نقیض ‹ Negation ›، ‹ ~ ›  : اگر p یک گزاره باشد ، نقیض p یا نفی p  به صورت زیر تعریف می شود:

اگر p دارای ارزش درست باشد، نقیض p ارزش نادرست دارد و

اگر p دارای ارزش نادرست باشد، نقیض p ارزش درست دارد .

نقیض p را معمولا ً با نماد ‹ p~ › نشان می دهند . اگر نماد ‹ ~ › قبل از گزاره ای بیاید، ارزش آن گزاره  را عوض می کند . جدول زیر که به جدول ارزش معروف است این بیان را روشن تر می سازد.

p~	p
F T	T F

جدول ۱

 که T و F به ترتیب به جای ‹‹ درست True ›› و ‹‹ نادرست False ›› بکار برده می شوند.

در جدول ارزش ، گزاره ها در سطر اول جای می گیرند. در هر ستون ، تمام حالت های ممکن برای گزاره ی مربوطه ثبت می شوند. مثلاً در جدول ۱ ، در ستون اول که مربوط به گزاره ی p است، ۲ حالت T و F  قرار می گیرند؛ چون هر گزاره ی ساده، یا درست است یا نادرست.   p~ یک گزاره ی ساده است که از روی p ساخته می شود ( ازرش آن به ارزش P بستگی دارد ) . در هر سطر متناظر با ارزش p ، ارزش p~ نیز آمده است.

نمونه وار اگر P گزاره ی ‹‹ چراغ روشن است ›› باشد،  p~ گزاره ی ‹‹ چراغ روشن نیست ›› یا ‹‹ چنین نیست که چراغ روشن است ››  می باشد.

۲

---

صفحه های قبل :‌ ۱