-
10 . مثال ۱و۲ و تعریف اجتماع خانواده ی مجموعه ها
یکشنبه 16 مهرماه سال 1385 17:09
مثال ۱ : برای هر عدد طبیعی n فرض کنیم . در این صورت به ازای هر مقدار طبیعی n ، یک مجموعه ی متفاوت داریم. مثلاْ وقتی n=1 ، و وقتی n=2 ، . پس یک خانواده نامتناهی از مجموعه ها تعریف کردیم که با اعداد طبیعی اندیس گذاری شده است. این خانواده را با نماد نمایش می دهیم. مثال ۲ : به ازای هر عدد حقیقی مثبت r ، مجموعه ی A r را به...
-
۹. خانواده مجموعه های اندیس دار
شنبه 15 مهرماه سال 1385 11:54
خانواده مجموعه های اندیس دار خانواده ها در ریاضیات ، شکل کلی تر مجموعه ها هستند. در تعریف مجموعه آوردیم که دسته ای از اشیاء متمایز هستند. اگر شرط مجزا بودن عناصر مجموعه را حذف کنیم ، خانواده حاصل می شود. پس به صورت نه چندان دقیق ، خانواده دسته ای از اشیاء است که ممکن است متمایز نباشند . به دیگر زبان ، در خانواده ، عضو...
-
مسابقه شماره ۱
چهارشنبه 12 مهرماه سال 1385 15:46
مسابقه ریاضیدانان جوان سال ۸۵-۸۶ شماره ۱ ۱ . ۵۰ پاره خط به شکلی دلخواه روی خط مستقیمی در نظر گرفته شده اند. ثابت کنید در این میان یا ۸ پاره خط دو به دو مجزا و یا ۸ پاره خط با نقطه ی مشترک یافت می شوند. ۲ - سه مدرسه داریم و در هر مدرسه دقیقاً n دانش آموز حضور دارد و هر دانش آموز دقیقاً n-1 دوست در دو مدرسه ی دیگر دارد....
-
اثبات قسمت دوم نکته ۳ - قضیه ۶ و۷
دوشنبه 10 مهرماه سال 1385 16:25
اثبات قسمت دوم نکته ۳ : قسمت الف نکته ۳ تعریف - تعریف متمم قانون دمورگان تعریف اشتراک پخش پذیری پخش پذیری = همچنین برای B تعریف اجتماع تعریف اشتراک تعریف متمم تعریف متمم نسبی تعریف اجتماع قضیه ۶ : اگر U مجموعه جهانی مفروض باشد، و A و B و C زیر مجموعه هایی از آن باشند، الف : ب : = پ : = ت : = ث : U= برهان : ب: نکته ۳...
-
قضیه های متمم گیری - ۴و۵
یکشنبه 9 مهرماه سال 1385 16:59
قضیه های متمم گیری قضیه ۴ : قانون دمورگان : اگر A و B دو مجموعه دلخواه باشند: الف: = ب: = برهان : الف: x تعریف متمم تعریف اجتماع ~ ~ قانون دمورگان ترکیب ها تعریف متمم تعریف اشتراک قضیه ۵ : اگر U مجموعه جهانی و A و B زیر مجموعه هایی از آن باشند، آنگاه : ۱ . تهی عنصر خنثی در عمل اجتماع است: ۲ . مجموعه ی جهانی عضو خنثی...
-
۶. قضیه های مجموعه ها- قضیه ۱و۲و۳
چهارشنبه 5 مهرماه سال 1385 15:38
قضیه ها ی مجموعه ها قضیه ۱: تهی زیر مجموعه ی تمام مجموعه هاست. برهان : اگرA یک مجموعه ی دلخواه باشد، بایستی ثابت کنیم ، یعنی نشان می دهیم که گزاره ی شرطی ; یک راستگو است. اما طبق تعریف محموعه ی تهی، این مجموعه هیچ عضوی ندارد، پس نادرست است. بنابراین ، گزاره ی شرطی ِ حکم ، به انتفای مقدم ، یک گزاره ی راستگو است . پس...
-
۵. تصریح مجموعه ها و مجموعه ی توانی
دوشنبه 3 مهرماه سال 1385 17:14
تصریح مجموعه ها : اگر A و B دو مجموعه باشند، با استفاده از۶ عمل معرفی شده در اعمال مجموعه ها، می توان به مجموعه هایی جدید دست یافت. یک روش دیگر برای ساختن مجموعه ای جدید از مجموعه ی مفروض A، مشخص کردن عناصری از مجموعه ی A است که در یک ویژگی صدق می کنند. یعنی اگرA یک مجموعه باشد، با مشخص کردن گزاره ای مانند ، می توان...
-
۴.اثبات قسمت الف نکته ۳ و نمودارهای ون
دوشنبه 3 مهرماه سال 1385 16:01
اثبات نکته۳ : اکنون بایستی ثابت کنیم این سه تعریف معادل اند. برای این منظور نشان کی دهیم هر عضو از گزاره ی تعریف، عضوی از گزاره ی نکته۳ است و برعکس. اثبات قسمت « الف » به صورت زیر است اما قسمت « ب » نیاز مند مقدمات جدیدی است و پس از بیان مقدمات، آورده می شود تعریف و توضیح تعریف اجتماع تعریف متمم نمودار های ون : اگر...
-
نکته۱. متمم. تفاضل متقارن .نکته۲، نکته ۳
شنبه 18 شهریورماه سال 1385 22:26
نکته ۱ : برای دو مجموعه دلخواه A و B ، اگر = ، آنگاه A و B را دو مجموعه مجزا گویند. ۵. متمم : اگر A و B دو مجموعه ی دلخواه باشند، « متمم A نسبت به B »، « مجموعه ایست شامل تمام عناصری که عضو B هستند و عضو A نیستند».« متمم A نسبت به B » را با نماد « B-A » نشان می دهند . به عبارت دیگر متمم A نسبت به B یعنی = B-A نکته ۲ :...
-
۲. تساوی-زیرمجموعه- اجتماع-اشتراک مجموعه ها
یکشنبه 12 شهریورماه سال 1385 21:20
توضیح : نماد سه نقطه در یک مجموعه نشان می دهد که عناصر مجموعه با یک ترتیب خاص ادامه می یابند. از ویرگول « ، » نیز برای جدا کردن عناصر مجموعه از یکدیگر استفاده می کنیم. اعمال مجموعه ها : برای مجموعه ها نیز اعمالی تعریف می شود که می توان با کمک این اعمال ، مجموعه های جدید ساخت. در مقام مقایسه ، اعمال روی مجموعه ها مانند...
-
۲.۱ مجموعه ها
چهارشنبه 8 شهریورماه سال 1385 22:11
فصل دوم « مجموعه ها » چشم اندازی به آنچه در این فصل خواهیم گفت : ابتدا به بیان مفهوم مجموعه می پردازیم و سپس روابط حاکم بر مجموعه ها و پس از آن چند قضیه در مجموعه ها را بیان و اثبات می کنیم . پس از مجموعه ها ، به مفهوم خانواده و خانواده مجموه های اندیس دار خواهیم پرداخت که این قسمت نیز با تعاریف و قضایای مربوطه همراه...
-
۲۳.قضیه ۹ « توزیع دو جمله ای »
شنبه 4 شهریورماه سال 1385 21:59
قضیه ۹« توزیع دو جمله ای » : اگر x و y دو عدد حقیقی و n یک عدد طبیعی باشد ، آنگاه ( ۱ ) برهان : این قضیه را نیز با استقرا ثابت می کنیم : ۱. n=1 : ( ۲ ) ۲. اگر قضیه برای n=k برقرار باشد یعنی داشته باشیم : ( ۳ ) . اگر دو طرف تساوی ( ۳ ) را در x+y ضرب کنیم : ( ۴ ) و این نتیجه مطلوب است که در گام آخر تساوی های ( ۴ ) ، از...
-
۲۲. تعریف های استقرایی و قضیه ۸
شنبه 4 شهریورماه سال 1385 21:15
تعریف های استقرایی : در بسیاری از تعاریف در ریاضیات ، از استقرا استفاده می شود. نمونه وار در اعداد حقیقی ، توان های طبیعی اعداد به صورت استقرایی تعریف می شوند. اگر x عددی حقیقی و n عددی طبیعی باشد ، x n+1 =x n .x بنابراین x 1 =x x 2 =x 1 .x x 3 =x 2 .x و .... همچنین x=x 2x=x+x 3x=2x+x و ... nx=(n-1).x . فاکتوریل ! :...
-
۲۱. استقرای ریاضی و مثال۵
چهارشنبه 1 شهریورماه سال 1385 07:54
۳. استقرای ریاضی : معمولا ْ اگر بخواهیم درستی گزاره ای را در مورد اعداد طبیعی نشان دهیم از استقرای ریاضی کمک می گیریم . اصل استقرای ریاضی به صورت زیر است : استقرای ریاضی : اگر حکمی درباره ی اهداد طبیعی n باشد به طوری که ۱. به ازای n=1 گزاره ای درست باشد. ۲. به ازای هر عدد طبیعی k ، از درستی ، درستی لازم آید ، یعنی...
-
۲۰. برهان غیر مستقیم
سهشنبه 31 مردادماه سال 1385 20:31
۲. برهان غیر مستقیم « برهان خلف » : در برهان خلف، نقیض نتیجه را به مفروضات می افزاییم و با استفاده از قواعد، به یک تناقض می رسیم. با رسیدن به تناقض برهان کامل می شود. مثال ۴ : حکم زیر را با استفاده از برهان خلف ثابت کنید . اگر من در این درس شرکت کنم و زیاد درس بخوانم، آنگاه نمرات خوبی می گیرم . اگر نمرات خوبی بگیرم...
-
۱۳. قضیه ۴
سهشنبه 31 مردادماه سال 1385 17:24
قضیه ۴: اگر p و q وr سه گزاره باشند آنگاه : الف : p q q p ب : برهان : قسمت الف به راحتی اثبات می شود. اما اثبات قسمت ب : ( r q ) p r ( q p ) T F T F T F T F F T T F F T T F T T F F T T F F T F F T F T T F T T T T F F F F T T T T T T T T T F T F T F T F T F F T F T T F T T F F T T F F F F T T T T F F T T T T F F F F...
-
۱۹. برهان های درستی ۱. برهان مستقیم
دوشنبه 30 مردادماه سال 1385 17:11
برهان های درستی ۱. برهان مستقیم « Direct Proof » ۲. برهان غیرمستقیم « برهان خلف Reductio ad absurdum » ۳. استقرای ریاضی « Mathematical induction » ۱. برهان مستقیم « Direct Proof » در این نوع برهان ، گزاره ای به نام نتیجه، از ترکیب عطفی گزاره های مفروضات بدست می آید. مرسوم است که مفروضات و نتیجه را در سمت جپ زیر هم می...
-
۱۸. سور وجودی و نقیض سور ها
جمعه 27 مردادماه سال 1385 18:14
۲. سور وجودی « Existential quantifier » : در ریاضیات سور وجودی در یک عالم سخن ، جهت نشان دادن ِ صحت گزاره ای برای بعضی از عناصر عالم سخن به کار می رود و در فارسی جای « بعضی از » یا « وجود دارد » را می گیرد. مثلا ْ اگر گزاره ی پیشین را به گزاره ی « بعضی از خودرو های ساخت ایران ، بنزین سوز هستند » تغییر دهیم، به این...
-
۱۷. سورها و قواعد آن
چهارشنبه 25 مردادماه سال 1385 19:32
سورها و قواعد آن تعاریف : به گزاره ی « تمام اعداد اول ، فرد هستند » دقت کنید. در این گزاره ، بحث در مورد اعداد اول است و از اعداد اول سخن گفته می شود. یا در گزاره ی « اعداد حقیقی، یا مثبت اند، یا منفی، یا صفر » عالم سخن اعداد حقیقی است. پس عالم سخن یا دامنه سخن به صورت زیر تعریف می شود : « عالم سخن Universe of...
-
۱۰. شرط های کافی برای انتگرال پذیری ریمان اشتیل یس
سهشنبه 24 مردادماه سال 1385 18:34
شرط های کافی برای انتگرال پذیری ریمان-اشتیل یس در بسیاری از قضیه های پیشین ، با باور به وجود انتگرال ها ، ویژگی های آن ها را بررسی کردیم. اکنون این پرسش پیش می آید که انتگرال ریمان-اشتیل یس در چه مواردی وجود خواهد داشت. در ادامه دو شرط کافی و مفید برای انتگرال پذیری بیان خواهد شد. قضیه ۲-۱۶ : اگر یکی از توابع f و a بر...
-
۱۶.استدلال قیاسی، مثال۱ و مثال۲
دوشنبه 23 مردادماه سال 1385 18:06
استدلال قیاسی « Deductive reasoning » : در اثبات قضیه های ریاضی ، نمی توان همواره از جدول ارزشی استفاده نمود. مثلا ْ اگر قضیه ای از ۵ گزاره ی ساده تشکیل شده باشد، جدول ارزشی آن دارای ۳۲ حالت منطقی خواهد بود. رسم یک چنین جدولی هیچ گاه مقرون به صرفه نیست و هیچ کس آن را توصیه نمی کند. اینجاست که استدلال قیاسی به کمک می...
-
۱۵. قضبه ۶ و قضیه ۷
یکشنبه 22 مردادماه سال 1385 18:03
قضیه ۶ : الف : قیاس دفع p~ q~ ( q p ) F F T T T T T T F T F T F F F T T F T F T F T T T T F F جدول ۲۵ ب: برهان خلف ( q p~ ) ( q~ p ) ( q p ) T F T F F F T F F F T T T F T T F T F T F T F F T T F F T T T T T F T F T F T T T T F F جدول ۲۶ قضیه ۷ : اگر c و t و p به ترتیب یک تناقض و یک راستگو و یک گزاره دلخواه باشند،...
-
۱۴. قضیه ۵ و نکته ۶
شنبه 21 مردادماه سال 1385 18:46
قضیه ۵: قیاس ذوالوجهین موجب « Constructive Dilemmas » : الف : ب : برهان : ب : ( s q ) ( r p ) ( s r ) ( q p ) T F T F T F T F T F T F T F T F T F T F F F F F T F T F F F F F T T T T F F F F T T T T F F F F T F T T F F T T T T T T T T T T T T F F T T F F T T F F T T F F T T F F T T F F F F F F F F F F T T T T T T T T F...
-
۱۲ قضیه ۳ ، نکته ۵
جمعه 20 مردادماه سال 1385 13:48
قضیه۳ : اگر p و q وr گزاره باشند ، آنگاه : الف : قانون های شرکت پذیری « Associtive Laws » : و ب : قانون های پخش پذیری « Distributive Laws » : و ج : قانون تعدی « Transitive Law » : برهان : ( r q ) p r ( q p ) T F T F T F T F T F F F T F F F T T F F T T F F T F F F F F F F T T T T F F F F T T T T T T T T T F T F T F T F...
-
۱۱. قضیه ها
پنجشنبه 19 مردادماه سال 1385 18:35
قضبه ها « Theorems » : ابتدا چند قضیه ساده اما مهم را بیان می کنیم. سپس به قضایای مهمتر می پردازیم: قضیه ۱ : قانون های دمورگان « Augustus De Morgan » : اگر p و q دو گزاره باشند ، آنگاه الف: ب : برهان : با توجه به جدول ارزشی زیر حکم ها برقرارند : q~ p~ ( q p ) ~ F T F T F F F T F F T T T T T T T F T F T T T F T T F F F...
-
۱۰. تعاریف
چهارشنبه 18 مردادماه سال 1385 22:33
تعاریف ۱. تعریف راستگو tautology : گزاره ای که در تمام حالت های منطقی دارای ارزش درستی باشد، یک راستگو نامیده می شود. ۲. تعریف تناقض : گزاره ای که در تمام حالت های منطقی دارای ارزش نادرستی باشد، یک تناقض نامیده می شود. ۳. تعریف استلزام Impalication : اگر گزاره ی شرطی P Q یک راستگو باشد ، آن را یک استلزام گوییم و با...
-
۹. رسم چند جدول ارزشی نمونه و چند نکته
سهشنبه 17 مردادماه سال 1385 22:42
جدول ارزشی گزاره های ، ، و را مشاهده می کنید. q~ p~ q p T T F T F T T F T T T F T T T F F T F T F F T T T F T F T T F F جدول ۹ جدول ارزشی گزاره مرکب را مشاهده می کنید. ( r q ) ( r p ) ( q p ) T F T F T F T F T F T T T F T T T T F F T T F F T F T T T F T T T F T F T F T F T F T F T T T T T T T T F F F F T T T F T T T T...
-
۸. رسم جدول ارزشی و ترتیب نماد ها
سهشنبه 17 مردادماه سال 1385 18:36
۱ . رسم جدول ارزشی : روش رسم یک جدول ارزشی را با رسم جدول ارزشی گزاره ی توضیح می دهیم . توجه کنید که این گزاره ، از دو گراره ی ساده p و q ساخته شده است. بنابراین دارای ۴ حالت منطقی است. پس ابتدا ارزش های p و q را مشخص می کنیم. مرحله ۱ : تعیین ارزش های p~ و q~ با توجه به ارزش های p و q ، مرحله ۲ : تعیین ارزش های و ،...
-
۷. « یا » ی مانع جمع
یکشنبه 15 مردادماه سال 1385 18:41
۶. « یا » ی مانع جمع « » : اگر p و q دو گزاره ی ساده باشند ، جدول ارزشی p q به صورت زیر است: p q q p F T T F T F T F T T F F جدول ۷ تعریف : گزاره ی p q هنگامی درست است که فقط یکی از p یا q درست باشد. در صورتی که p یا q هر دو درست یا هر دو نادرست باشند، ارزش نادرست دارد. نمونه وار اگر p گزاره ی « من زنده هستم » و q...
-
۶. ترکیب دو شرطی
یکشنبه 15 مردادماه سال 1385 18:01
۵. ترکیب دو شرطی -Biconditional « » : ترکیب دو شرطی P q ، به صورت « p اگر و تنها اگر q » خوانده می شود و در واقع ترکیب عطفی دو گزاره ی « P q » و « q p » است. جدول ارزشی آن به صورت زیر اشت : P q q p T F F T T F T F T T F F جدول ۶ تعریف : ترکیب P q هنگامی درست است که P و q هر دو درست یا هردو نادرست باشند، در غیر این...